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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 1h

A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 .

T :   R 3 → R 3 ,         T x , y , z = ( x , x - z , x - y - z )

Passo 1

A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.

Para construir a matriz de transformação, temos que

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   1 ,   1 )

T 0 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

T 0 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   - 1 ,   - 1 )

Assim,

T = 1 0 0 1 0 - 1 1 - 1 - 1

Note que

det ⁡ T = 1 ⋅ - 1 = - 1 ≠ 0

Portanto, [ T ] admite inversa e T é invertível.

Passo 2

Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de [ T ] . Para isso, vamos escalonar a matriz expandida.

1 0 0 1 0 - 1 1 - 1 - 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Multiplicando a segunda linha por - 1 e somando com a primeira:

1 0 0 0 0 1 1 - 1 - 1 1 0 0 1 - 1 0 0 0 1

Agora, multiplicando a terceira linha por - 1 e somando com a primeira:

1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 - 1 0 1 0 - 1

Invertemos a segunda e a terceira linha:

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 - 1 1 - 1 0

Por fim, fazemos a segunda linha menos a terceira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 - 1 1 - 1 0

Assim, a matriz inversa é

T - 1 = 1 0 0 0 1 - 1 1 - 1 0

Passo 3

Assim, a transformação inversa é dada por

1 0 0 0 1 - 1 1 - 1 0 ⋅ x y z = x y - z x - y

Portanto,

T - 1 x , y , z = x , y - z , x - y

Resposta

T - 1 x , y , z = x , y - z , x - y

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