A seguir são dados operadores lineares em e em . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para .
Passo 1
A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.
Para construir a matriz de transformação, temos que
Assim,
Note que
Portanto, admite inversa e é invertível.
Passo 2
Para achar a transformação inversa, vamos achar a matriz inversa de . Para isso, vamos escalonar a matriz expandida.
Multiplicando a segunda linha por e somando com a primeira:
Agora, multiplicando a terceira linha por e somando com a primeira:
Invertemos a segunda e a terceira linha:
Por fim, fazemos a segunda linha menos a terceira:
Assim, a matriz inversa é
Passo 3
Assim, a transformação inversa é dada por
Portanto,