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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 10

Sejam B = { 1 ,   0 ,   0 ,   1 } , B 1 = { 1 ,   1 , - 1 ,   0 } , B 2 = { ( - 1 ,   1 ) ,   2 , - 3 } e B 3 = { 2 ,   1 , - 5 , - 1 } , bases do R 2 .

a) Determinar as matrizes-mudança de base:

I B B 1 , I B 1 B , I B B 2 , I B 2 B e I B 2 B 3

b) Determinar o vetor-coordenada de v = ( - 3 ,   4 ) em relação as bases B , B 1 , B 2 e B 3 .

Passo 1

O problema fornece quatro bases: B = { 1 ,   0 ,   0 ,   1 } , B 1 = { 1 ,   1 , - 1 ,   0 } , B 2 = { ( - 1 ,   1 ) ,   2 , - 3 } e B 3 = { 2 ,   1 , - 5 , - 1 } . Precisamos escrever a matriz de mudança de base entre elas!

Sabemos que I B A representa a matriz de mudança de base da base A para a base B e suas colunas são os vetores da base A escritos na base B .

Note que neste problema, a base B é base canônica. Assim,

1 ,   1 = 1 ,   1 B

- 1 ,   0 = - 1 ,   0 B

Portanto,

I B B 1 = 1 - 1 1 0

Analogamente,

I B B 2 = - 1 2 1 - 3

Podemos também inverter essas matrizes usando o truque para matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

I B 1 B = 1 1 0 1 - 1 1 = 0 1 - 1 1

Analogamente,

I B 2 B = 1 1 - 3 - 2 - 1 - 1 = - 3 - 2 - 1 - 1

Passo 2

Já para a matriz I B 2 B 3 temos que tomar mais cuidado pois ela não envolve a base canônica. Vamos escrever os vetores da base B 3 na base B 2 :

2 ,   1 = a - 1 ,   1 + b ( 2 , - 3 )

Assim,

- a + 2 b = 2 a - 3 b = 1

Portanto, b = - 3 e a = - 8 . Logo,

2 ,   1 = - 8 ,   - 3 B 2

Analogamente,

- 5 ,   - 1 = a - 1 ,   1 + b ( 2 , - 3 )

Assim,

- a + 2 b = - 5 a - 3 b = - 1

Portanto, b = 6 , a = 17 . Logo,

- 5 , - 1 = 17 ,   6 B 2

Assim,

I B 2 B 3 = - 8 17 - 3 6

Passo 3

Agora temos que escrever o vetor v = ( - 3 ,   4 ) nas bases B , B 1 , B 2 e B 3 . Como a base B é a canônica, segue que

v B = ( - 3 ,   4 )

Passando para a base B 1

v B 1 = I B 1 B v B = 0 1 - 1 1 ⋅ - 3 4 ⇒ v B 1 = ( 4 ,   7 )

Analogamente,

v B 2 = I B 2 B v B = - 3 - 2 - 1 - 1 ⋅ - 3 4 ⇒ v B 2 = ( 1 ,   - 1 )

Por fim,

v B 3 = I B 3 B v B

Mas

I B 3 B = I B B 3 - 1 = 2 - 5 1 - 1 - 1 = 1 3 - 1 5 - 1 2

Logo,

v B 3 = 1 3 - 1 5 - 1 2 ⋅ - 3 4 ⇒ v B 3 = 23 3 , 11 3

Resposta

I B B 1 = 1 - 1 1 0

I B 1 B = 0 1 - 1 1

I B B 2 = - 1 2 1 - 3

I B 2 B = - 3 - 2 - 1 - 1

I B 2 B 3 = - 8 17 - 3 6

v B = ( - 3 ,   4 )

v B 1 = ( 4 ,   7 )

v B 2 = ( 1 ,   - 1 )

v B 3 = 23 3 , 11 3

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