Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 10
Seja
Mostre que tem posto se, e só se, um ou mais dos determinantes
, ,
é não nulo.
Passo 1
Olá!! tudo bem? Vamos resolver esse problema?
A matriz tem posto se qualquer uma das duas colunas puder ser reduzida em ou , então o determinante dessa matriz será diferente de zero. Assim temos:
ou ou
Resposta
Veja a explicação!
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Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , … , E n = 0 0 0 ⋮ 1 matrizes nx1 . (a) Mostre que se A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n é uma matriz mxn , então A E j é igua
Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n = I n A = A para qualquer matriz A ,nxn . (Sugestão: Seja J n uma matriz tal que A J n = J n A = A . Mostre que J n = I n
Sejam A e B matrizes mxp e pxn , respectivamente. (b)Mostre que a i -ésima linha do produto A B é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i -ésima linha de A , ou seja, se A = A 1 A 2
(a)Determine todas as matrizes A , 2 x 2 , que comutam com toda matriz B , 2 x 2 , ou seja, tais que A B = B A , para toda matriz B ,2 x 2 .
Se A é uma matriz tal que A 2 = 0 , então A = 0 ? Justifique.