Seja ABC um triângulo qualquer com medianas A D ̄ , B E ̄ e C F ̄ . Demonstre que A D   → +   B E   → +   C F →   =   0 → .

Passo 1

Antes de começar essa questão, temos que lembrar a definição de mediana. Mediana é uma reta que sai de um dos vértices até o ponto médio localizado no na aresta oposta. Parece complicado? Talvez uma figura ajude com a visualização:

Então, A D ̄ , B E ̄ e C F ̄ são as medianas do triângulo.

Passo 2

Para demonstrar que A D   → +   B E   → +   C F →   =   0 → , vamos utilizar o resultado do Exercício Resolvido 3 que relaciona a mediana com os outros dois vetores saindo do vértice. Assim, vamos escrever cada mediana em termos de A B , →   B C , →   A C → :

A D   → = 1 2 ( A C   → + A B   → )

B E   → = 1 2 ( B A   → + B C   → ) = 1 2 ( - A B   → + B C   → )

C F   → = 1 2 ( C A   → + C B   → ) = 1 2 ( - A C   → - B C   → )

Assim, a soma das medianas será:

A D   → +   B E   → +   C F →   = 1 2 ( A C   → + A B   → ) + 1 2 ( - A B   → + B C   → ) + 1 2 ( - A C   → - B C   → ) =   0 → .

Resposta

Ver a resolução acima.

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