Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 13

Os vetores u →   =   ( a , - 1 , b + 1 ) e v →   =   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 ) são paralelos. determine as coordenadas de u →   +   v → .

Passo 1

Fala, galera! Como u →   =   ( a , - 1 , b + 1 ) e v →   =   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 ) são paralelos, então devemos ter

u → = α v → ⇒   ( a , - 1 , b + 1 ) = α   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 )

Com isso, temos o sistema de equações

4 α = a

α ( a - 5 ) = - 1 ⇒ α ( 4 α - 5 ) = - 1 = 4 α 2 - 5 α + 1 = 0 ⇒ α 2 - 5 4 α + 1 4 = ( α - 1 ) ( α - 1 4 ) = 0

⇒ α = 1 ,   α = 1 4

α ( b - 1 ) = b + 1 ⇒ α b - α = b + 1 ⇒ b ( α - 1 ) = 1 + α ⇒ b = 1 + α α - 1

Como temos dois valores de α , então, também temos dois valores possíveis de a :

a = 4 α ⇒ a = 4 , a = 1

b = 1 + α α - 1 = 5 / 4 - 3 / 4 = - 5 3

Não podemos substituir α = 1 diretamente em b = 1 + α α - 1 , pois teríamos uma indeterminação. Ao invés disso, fazemos

α b - α = b + 1 ⇒ b - 1 = b + 1 ⇒ 1 = - 1

Como esse resultado é absurdo, então não podemos usar α = 1 .

Passo 2

Para α = 1 4 , temos a = 1 e b = - 5 3 de modo que

u →   =   ( a , - 1 , b + 1 ) =   ( 1 , - 1 , - 5 3 + 1 ) = ( 1 , - 1 , - 2 3 )

v →   =   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 ) = ( 4,1 - 5 , - 5 3 - 1 ) = ( 4 , - 4 , - 8 3 )

Mas o que a questão pede, na verdade, é u →   +   v → . Então,

u →   +   v → = ( 1 , - 1 , - 2 3 ) + ( 4 , - 4 , - 8 3 ) = ( 5 , - 5 , - 10 3 )

Resposta

u →   +   v → = ( 5 , - 5 , - 10 3 )

Exercícios de Livros Relacionados

21. As funções f 1 x = x e f 2 x = cos ⁡ x são linearmente independentes em F ( - ∞ , ∞ ) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste do wron
5. Suponha que v 1 → , v 2 → e v 3 → sejam vetores em R 3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os vetores estão num mesmo plano.(a) v 1 → = 2 ,- 2 ,0 ,v 2 → = 6,1 , 4 ,v 3 → = (
7. (a) Mostre que os três vetores v 1 → = 0 ,3 ,1 ,- 1 ,v 2 → = 6 ,0 ,5 ,1 ,v 3 → = ( 4 ,- 7 ,1 ,3 ) formam um conjunto linearmente dependente em R 4 .(b) Expresse cada vetor da parte (a) como uma com
8. (a) Mostre que os três vetores v 1 → = 1 ,2 ,3 ,4 ,v 2 → = 0 ,1 ,0 , - 1 ,v 3 → = ( 1 ,3 , 3 ,3 ) formam um conjunto linearmente dependente em R 4 .(b) Expresse cada vetor da parte (a) como uma com
2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R 3 são linearmente dependentes?(a) 4 , - 1 ,2 , ( - 4 ,10 ,2 ) (b) - 3,0 ,4 , 5 ,- 1 ,2 , ( 1 ,1 ,3 ) (c) 8 , - 1 ,3 , ( 4 ,0 ,1 ) (d)- 2 ,0 ,1 , 3 ,2 ,