Os vetores u →   =   ( a , - 1 , b + 1 ) e v →   =   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 ) são paralelos. determine as coordenadas de u →   +   v → .

Passo 1

Fala, galera! Como u →   =   ( a , - 1 , b + 1 ) e v →   =   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 ) são paralelos, então devemos ter

u → = α v → ⇒   ( a , - 1 , b + 1 ) = α   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 )

Com isso, temos o sistema de equações

4 α = a

α ( a - 5 ) = - 1 ⇒ α ( 4 α - 5 ) = - 1 = 4 α 2 - 5 α + 1 = 0 ⇒ α 2 - 5 4 α + 1 4 = ( α - 1 ) ( α - 1 4 ) = 0

⇒ α = 1 ,   α = 1 4

α ( b - 1 ) = b + 1 ⇒ α b - α = b + 1 ⇒ b ( α - 1 ) = 1 + α ⇒ b = 1 + α α - 1

Como temos dois valores de α , então, também temos dois valores possíveis de a :

a = 4 α ⇒ a = 4 , a = 1

b = 1 + α α - 1 = 5 / 4 - 3 / 4 = - 5 3

Não podemos substituir α = 1 diretamente em b = 1 + α α - 1 , pois teríamos uma indeterminação. Ao invés disso, fazemos

α b - α = b + 1 ⇒ b - 1 = b + 1 ⇒ 1 = - 1

Como esse resultado é absurdo, então não podemos usar α = 1 .

Passo 2

Para α = 1 4 , temos a = 1 e b = - 5 3 de modo que

u →   =   ( a , - 1 , b + 1 ) =   ( 1 , - 1 , - 5 3 + 1 ) = ( 1 , - 1 , - 2 3 )

v →   =   ( 4 , a - 5 ,   b - 1 ) = ( 4,1 - 5 , - 5 3 - 1 ) = ( 4 , - 4 , - 8 3 )

Mas o que a questão pede, na verdade, é u →   +   v → . Então,

u →   +   v → = ( 1 , - 1 , - 2 3 ) + ( 4 , - 4 , - 8 3 ) = ( 5 , - 5 , - 10 3 )

Resposta

u →   +   v → = ( 5 , - 5 , - 10 3 )

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