Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 22

Seja A = 0 2 1 1 .

  1. Ache os autovalores de A e de A - 1 .
  2. Quais são os autovetores correspondentes?

Passo 1

  1. Para achar os autovalores da matriz A temos que calcular:

    2. det ⁡ A - λ I

    Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

    λ I = λ ⋅ 1 0 0 1 = λ 0 0 λ

    Vamos então agora calcular A - λ I :

    A - λ I = 0 2 1 1 - λ 0 0 λ = - λ 2 1 1 - λ

    Passo 2

    Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

    det ⁡ A - λ I = 0 → - λ 2 1 1 - λ = 0 → - λ 1 - λ - 2 = 0 → - λ + λ 2 - 2 = 0

    λ 1 = - 1 e λ 2 = 2

    Temos que os autovalores de A são - 1 e 2 .

    Passo 3

    Para achar os autovalores da matriz A - 1 temos que calcular:

    A - 1 = 0 2 1 1 1 0         0 1 = - 1 1 1 1 1 0         - 1 1 = 1 - 1 - 1 1 1 0         1 1 =

    = 2 0 - 1 1 1 0         2 1 = 2 0 - 1 0 1 1 2         2 0 = 1 0 - 1 2 0 1 1 2         1 0

    Assim:

    A - 1 = - 1 2 1 1 2 0

    det ⁡ A - 1 - λ I

    Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

    λ I = λ ⋅ 1 0 0 1 = λ 0 0 λ

    Vamos então agora calcular A - 1 - λ I :

    A - 1 - λ I = - 1 2 1 1 2 0 - λ 0 0 λ = - 1 2 - λ 1 1 2 - λ

    Passo 4

    Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - 1 - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

    det ⁡ A - 1 - λ I = 0 → - 1 2 - λ 1 1 2 - λ = 0 → - λ - 1 2 - λ - 1 2 = 0 → λ 2 + λ 2 - 1 2 = 0

    λ 1 = - 1 e λ 2 = 1 2

    Temos que os autovalores de A - 1 são - 1 e 1 2 .

    Passo 5

  2. Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor - 1 de A :

T v = λ v → 0 2 1 1 x y = - 1 ⋅ x y → 2 y x + y = - x - y

Temos então o sistema:

2 y = - x x + y = - y

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = - 2 y

Pronto, assim temos:

- 2 y , y = y - 2 , 1

Para os autovetores associados ao autovalor 2 de A :

T v = λ v → 0 2 1 1 x y = 2 ⋅ x y → 2 y x + y = 2 x 2 y

Temos então o sistema:

2 y = 2 x x + y = 2 y

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = y

Pronto, assim temos:

y , y = y 1,1

Então os autovetores são da forma:

v 1 = - 2,1 e v 2 = 1,1

Passo 2

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor - 1 de A - 1 :

T v = λ v → - 1 2 1 1 2 0 x y = - 1 ⋅ x y → - 1 2 x + y 1 2 x = - x - y

Temos então o sistema:

- 1 2 x + y = - x 1 2 x = - y

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = - 2 y

Pronto, assim temos:

- 2 y , y = y - 2,1

Para os autovetores associados ao autovalor 1 2 de A - 1 :

T v = λ v → - 1 2 1 1 2 0 x y = 1 2 ⋅ x y → - 1 2 x + y 1 2 x = 1 2 x 1 2 y

Temos então o sistema:

- 1 2 x + y = 1 2 x 1 2 x = 1 2 y

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = y

Pronto, assim temos:

y , y = y 1 , 1

Então os autovetores são da forma:

v 1 = - 2,1 e v 2 = 1,1

Resposta

  1. Os autovalores de A são - 1 e 2 , e os autovalores de A - 1 são - 1 e 1 2
  2. Autovetores de A são v 1 = - 2,1 e v 2 = 1,1 , e os autovetores de A - 1 são v 1 = - 2,1 e v 2 = 1,1
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 2 1 3 4
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 3 - 1 - 3 0 2 - 3 0 0 - 1
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0
Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são vetores próprios das correspondentes matrizes: v = ( - 2 ,1 ) , M = 2 2 1 3 v = 1 ,1 ,2 , M = 1 1 1 0 2 1 0 2 3 v = ( - 2 ,1 ,3 ) , M = 1 - 1
Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz: A = 1 3 - 1 5