Sejam A e B matrizes n × n . Mostre que A B e B A possuem os mesmos autovalores. (Sugestão: Separe em dois casos: λ = 0 e λ ≠ 0 . No segundo caso, mostre que se V é autovetor de A B , então B V é autovetor de B A .)

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 22

Sejam e matrizes . Mostre que e possuem os mesmos autovalores. (Sugestão: Separe em dois casos: e. No segundo caso, mostre que se é autovetor de , então é autovetor de .)

Passo 1

Olá, gente! Tudo bom com vocês? Então, vamos Responder mais uma questão Aí? Vamos!

Seguindo a sugestão do livro, vamos começar considerando que e tem o mesmo autovalor . Então, lembrando que o determinante da matriz é igual a multiplicação dos seus autovalores (dá uma olhadinha na questão 6.1.18a), temos

Já que , então tem autovalor .

Passo 2

Agora, vamos considerar o caso . Se é autovetor de , então vale

Vamos aplicar a matriz na equação acima:

Ou seja, é é autovetor de com autovalor . O que importa aqui pra gente é que mostramos que e tem o mesmo autovalor, mesmo que seja para autovetores diferentes. Sacou? Então, nos vemos na próxima.

Resposta

Veja a resolução acima.

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Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:c) 1 2 3 0 1 0 2 1 2

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor.c) 1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 0 0 3 0 3 2

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.f) 2 1 1 1 2 1 1 1 2

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.h) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que V 1 = 0 ,2 ,- 2 ,1eV 2 = ( 2 ,1 ,- 2 ,3 ) São autovetores de A associados a λ 1 = 2 e V 3 = - 2 ,0 ,1 ,2eV 4 = ( - 3 ,- 2 ,- 1 ,2 ) São autovetores de A ass