Seja λ um autovalor da matriz não-singular A com autovetor associado X . Mostre que 1 / λ é um autovalor de A - 1 com autovetor associado X .

Passo 1

E aí, galerinha! Bom, uma informação muito importante é que a matriz é não-singular, então ela tem inversa. Já sabemos que λ é um autovalor da matriz A com autovetor associado X :

A X = λ X

Então, vamos usar o velho truque de aplicar A - 1 pela esquerda em ambos os lados da equação:

A - 1 ( A X ) = λ A - 1 X ⇒ X = λ A - 1 X

Agora, vamos dividir por λ em ambos os lados:

A - 1 X = 1 λ X

Ou seja, conseguimos mostrar que 1 / λ é um autovalor de A - 1 com autovetor associado X . Gostou desse truque? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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