Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 17
Uma matriz é chamada nilpotente se , para algum inteiro positivo . Reveja o Exercício 1.1.29 na página 27. Demonstre que se é nilpotente, então o único autovalor de A é 0. (Sugestão: use o exercício anterior).
Passo 1
E aí, galera! Bom, no exercício anterior vimos que se uma matriz tem autovalor associado a , ou seja, , então o autovalor de associado a é , ou seja, . Ok, então vamos aplicar a um vetor :
Assim,o autovalor de é , ou seja, é o autovalor de . Como a equação acima vale para qualquer vetor , é o único autovalor possível de .
Resposta
Veja a resolução acima.
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Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2
3. Prove que se A for uma matriz simétrica positiva e u e v vetores em forma de coluna, então u , v = u T A v É um produto interno de R n .
1. Em cada caso, verifique que a matriz é ortogonal e encontre sua inversa.(a) 3 5 - 4 5 4 5 3 5 (b) 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25
4. Encontre o polinômio característico e as dimensões dos autoespaços da matriz simétrica 3 2 2 2 3 2 2 2 3
5. Encontre uma matriz P que diagonalize A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Ortogonalmente e determine a matriz diagonal D = P T A P .