Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0 ̄ , para algum inteiro positivo k . Reveja o Exercício 1.1.29 na página 27. Demonstre que se A é nilpotente, então o único autovalor de A é 0. (Sugestão: use o exercício anterior).

Passo 1

E aí, galera! Bom, no exercício anterior vimos que se uma matriz B tem autovalor associado a X , ou seja, B X = λ X , então o autovalor de B k associado a X é λ k , ou seja, B k X = λ k X . Ok, então vamos aplicar A k = 0 ̄ a um vetor X :

A k = 0 ̄ ⇒ A k X = 0 ̄ X = 0 ̄

Assim,o autovalor de A k é λ k = 0 , ou seja, λ = 0 é o autovalor de A . Como a equação acima vale para qualquer vetor X , λ = 0 é o único autovalor possível de A .

Resposta

Veja a resolução acima.

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