Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 15
15. Seja um autovalor de um operador linear . Prove que os autovetores de associados a são os vetores não nulos no núcleo de .
Passo 1
(a) Bem... da definição lá de matrizes semelhantes. Pra e serem semelhantes, então existe uma matriz tal que:
Vamos elevar ao quadrado dos dois lados:
Lembre que:
Então:
Como é como se fosse o “um” das matrizes... qualquer matriz multiplicada por ela a própria matriz.
Portanto, e são semelhantes, como queríamos demonstrar...
Passo 2
Bem.. quando é mais geral o buraco é um pouco mais embaixo...
Vamos elevar a dos dois lados:
E queremos chegar em:
É um pouco intuitivo a gente notar que vai acontecer da mesma forma que aconteceu com 2, só que pra , mas para provar vamos precisar usar uma técnica meio abstrata (me perdoem)...
Vamos provar por indução. Que consiste em considerar que pra é verdade e provar que pra também vale.
Isso é igual a:
Vamos fazer o inverso do que fizemos no outro passo: ()
Como é invertível e
Como queríamos demonstrar.
Passo 3
Agora se e são semelhantes:
Então e são semelhantes.
Resposta
(a)
(b)