Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 17

17. Sejam e matrizes e uma base de um espaço vetorial . Mostre que se , qualquer que seja em , então .

Passo 1

(a) Bem... da definição lá de matrizes semelhantes. Pra e serem semelhantes, então existe uma matriz tal que:

Vamos elevar ao quadrado dos dois lados:

Lembre que:

Então:

Como é como se fosse o “um” das matrizes... qualquer matriz multiplicada por ela a própria matriz.

Portanto, e são semelhantes, como queríamos demonstrar...

Passo 2

Bem.. quando é mais geral o buraco é um pouco mais embaixo...

Vamos elevar a dos dois lados:

E queremos chegar em:

É um pouco intuitivo a gente notar que vai acontecer da mesma forma que aconteceu com 2, só que pra , mas para provar vamos precisar usar uma técnica meio abstrata (me perdoem)...

Vamos provar por indução. Que consiste em considerar que pra é verdade e provar que pra também vale.

Isso é igual a:

Vamos fazer o inverso do que fizemos no outro passo: ()

Como é invertível e

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora se e são semelhantes:

Então e são semelhantes.

Resposta

(a)

(b)

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Consideremos as transformações lineares S e T de R 3 em R 2 definidas por S x , y , z = ( 2 x - y , 3 x - 2 y + z ) e T x , y , z = ( x + y - z , y - 2 z ) .a) Determinar o núcleo da transformação lin

Sejam S e T operadores lineares de R 2 definidos por S x , y = ( x - 2 y ,y ) e T x , y = ( 2 x , - y ) . Determinar:a) S + T .b) T - S .c) 2 S + 4 T .d) S ∘ T .e) T ∘ S .f) S ∘ S .

Sendo S e T operadores lineares do R 3 definidos por S x , y , z = ( x ,2 y , x - y ) e T x , y , z = ( x - z , y , z ) , determinar:a) [ S ∘ T ] .b) [ T ∘ S ] .

Seja T o operador linear dado pela matriz: 1 2 - 1 2 0 1 1 - 2 2 a) Calcular N ( T ) e dim ⁡ N ( T ) . b) Calcular I m ( T ) e dim ⁡ I m ( T ) .

As transformações S :R 2 → R 3 e T :R 3 → R 2 são tais que S x , y = ( y , x - y , 2 x + 2 y ) e T x , y , z = ( x , y ) .a) Sendo B = { 1 ,0 , - 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0 ,0 } uma base do R 3 , determinar a m