Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 19
19. Complete a prova dada justificando cada passo.
Hipótese: e são matrizes semelhantes.
Conclusão: e têm o mesmo polinômio característico.
Prova:
Passo 1
Primeiro a gente começa interpretando a hipótese: Pra e serem semelhantes existe a matriz , que é invertível, tal que:
Se a gente pegar:
Fazendo :
E aplicando determinante dos dois lados:
E chegamos em (1).
Passo 2
Agora vamos fazer aparecer algumas coisas, mas sem mudar o resultado. Tipo ...
E chegamos em (2).
Passo 3
Temos que tomar cuidado porque são matrizes e . Mas podemos colocar em evidência o do final:
Como não é matriz, então é de boa trocar ele de lugar. E vamos fazer aparecer , já que qualquer matriz multiplicada por é a própria matriz:
E agora colocando o em evidência:
E chegamos em (3).
Passo 4
E agora usando a propriedade do determinante da multiplicação:
E chegamos em (4)
Passo 5
Agora não temos mais matrizes, pois quando calculamos o determinante de uma matriz vira um escalar.
Então podemos mudar de lugar de boa:
E chegamos em (5).
Passo 6
Agora voltando à propriedade que já usamos, até...
E como e , então:
E ficamos com:
E chegamos, finalmente, em (6). Amém
Que nos garante que têm o mesmo polinômio característico.