20. Se A e B forem matrizes semelhantes, digamos, B = P - 1 A P , então segue do Exercício 19 que A e B têm os mesmos autovalores. Suponha que λ seja um desses autovalores comuns e x seja um autovetor de A associado. Veja se você consegue encontrar um autovetor de B associado a λ (expresso em termos de λ , x e P ).

Passo 1

Vamos escrevendo as coisas que nós temos pra ver o que conseguimos tirar:

Se λ é um autovalor de A , então também é auto valor de B .

Se x é um autovetor de A , então:

A x = λ x

λ I - A x = 0

E usando B (porque mesmo tendo autovalores iguais, os autovetores não são iguais):

B x ' = λ x '

λ I - B x ' = 0

Passo 2

Igualando as duas, ficamos com:

λ I - A x = λ I - B x '

Substituindo B = P - 1 A P :

λ I - A x = λ I - P - 1 A P x '

Fazendo I = P - 1 P :

λ I - A x = λ P - 1 P - P - 1 A P x '

λ I - A x = P - 1 λ I - A P x '

x ' = P - 1 λ I - A P - 1 λ I - A x

Resposta

x ' = P - 1 λ I - A P - 1 λ I - A x

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