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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 14

Prove que u ∙ v =   ± u v   se, e somente se, um dos vetores u, v é múltiplo do outro. Em seguida, compare u + v 2 = ( u + v   ∙ u + v ) com u + v 2   para concluir que u + v = u + | v | se, e somente se, um dos vetores u v é zero ou é um múltiplo positivo do outro.

Passo 1

Tomando u = a , b   e   v = c , d :

Vamos começar provando que u ∙ v =   ± u v   se, e somente se, um dos vetores u, v é múltiplo do outro.

Vamos começar pela ida, se tivermos o produto escalar de u e v, será igual a mais ou menos o produto

u ∙ v = u v c o s θ

Igualando isso com o que nos é passado no enunciado:

u v c o s θ =   ± u | v |

Então cos ⁡ θ =   ± 1   ,   d a q u i   θ = 0   o u   θ = 180 º

Se os ângulos entre os vetores são esses, temos que eles são paralelos, ou seja, múltiplos.

Vamos provar a volta agora:

Se u é múltiplo de v, vamos provar que u ∙ v =   ± u v

S u p o n d o   u = k v

u ∙ v = k v   ∙ v = k c c + k d d = k c 2 + d 2 = k v 2 = k v v

Sabemos que u = k v ,   e n t ã o   u = k v ,   e n t ã o   k v =   ± | u |

Substituindo na equação anterior a essa:

u ∙ v =   k v v =   ± | u | | v |

Passo 2

Agora vamos para a parte: compare u + v 2 = ( u + v   ∙ u + v ) com u + v 2   para concluir que u + v = u + | v | se, e somente se, um dos vetores u, v é zero ou é um múltiplo positivo do outro.

u + v = ( a + c , b + d )

E n t ã o   u + v =   a + c 2 + b + d 2

u + v   ∙ u + v = a + c 2 + b + d 2

Logo u + v 2 = u + v   ∙ u + v

Além disso:

u + v 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 u | v |

= a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 )

= a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 a c 2 + a d 2 + b d 2 + b c 2

Daqui, com apoio do exercício 13b concluímos que u + v 2 ≤ u + v 2

Passo 3

Agora vamos provar a ida de:

s e   u + v = u + v   e n t ã o   u m   d o s   v e t o r e s   é   z e r o   o u   m ú l t i p l o   d o   o u t r o  

a + c 2 + b + d 2 = a 2 + b 2 +   c 2 + d 2

Elevando ao quadrado:

a 2 + c 2 + 2 a c + b 2 + d 2 + 2 b d = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 a 2 + b 2 c 2 + d 2

a c + b d =   a 2 + b 2 c 2 + d 2 = u v

Porém a c + b d =   u ∙ v = | u | | v | c o s θ

Então u | v c o s θ =   u v ,     n e s s e   c a s o   o u   u m   d o s   v e t o r e s   é   n u l o   o u   m ú l t i p l o   p o s i t i v o

A parte do múltiplo já foi mostrada anteriormente nesse exercício.

Agora queremos mostrar a volta, ou seja, se um dos vetores é zero ou múltiplo positivo vamos achar que u + v = u + v

Se u ou v é zero tal afirmação é muito direta, tendo em vista que: u + 0 = u + 0 = | u |

Vamos focar na parte de um ser múltiplo do outro:

Se u = k v

u + v = k v + v = v k + 1 = v k + 1 = v k + v = | u + v |

Resposta

Demonstração

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