Prove a lei do paralelogramo para vetores V e W de um espaço com produto interno V :

| | V + W | | 2 + | | V - W | | 2 = 2 ( | | V | | 2 + | | W | | 2 )

(Sugestão: desenvolva o primeiro membro da igualdade acima observando que | | V + W | | 2 = < V + W , V + W > e | | V - W | | 2 = < V - W , V - W > .)

Passo 1

E aí, gente! Nessa questãozinha, vamos seguir exatamente a sugestão do livro e calcular:

| | V + W | | 2 =   < V + W , V + W >   =   < V , V >   +   < V , W >   +   < W , V >   +   < W , W >

⇒ | | V + W | | 2 =   | | V | | 2   +   2 < V , W >   +   | | W | | 2

e

| | V - W | | 2 =   < V - W , V - W >   =   | | V | | 2   -   2 < V , W >   +   | | W | | 2

Passo 2

Prontinho, agora vamos substituir esses resultados em

| | V + W | | 2 + | | V - W | | 2 = | | V | | 2 + 2 < V , W >   + | | W | | 2 + | | V | | 2 - 2 < V , W >   + | | W | | 2

| | V + W | | 2 + | | V - W | | 2 =   | | V | | 2 + | | W | | 2 + | | V | | 2 + | | W | | 2 = 2 ( | | V | | 2 + | | W | | 2 )

É basicamente isso e chegamos ao resultado. O que você achou? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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