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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 25

Seja V = C 0 [ a , b ] o conjunto das funções contínuas do intervalo a , b   e m   R com o produto interno definido por

< f , g >   = ∫ a b f t g t d t

a) mostre que os polinômios Q n t = p n 2 t - a - b b - a são ortogonais e que Q n = 2 2 n + 1 em que p n ( t ) são os polinômios de Legendre, para n = 0,1 , 2 , …

b) mostre que o conjunto

1 , cos ⁡ 2 π t b - a ,   sin ⁡ 2 π t b - a , … , cos ⁡ 2 n π t b - a ,     sin ⁡ 2 n π t b - a , … é ortogonal

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos Seja V = C 0 [ a , b ] o conjunto das funções contínuas do intervalo a , b   e m   R com o produto interno definido por

< f , g >   = ∫ a b f t g t d t

a) mostre que os polinômios Q n t = p n 2 t - a - b b - a são ortogonais e que Q n = 2 2 n + 1 em que p n ( t ) são os polinômios de Legendre, para n = 0,1 , 2 , …

b) mostre que o conjunto

1 , cos ⁡ 2 π t b - a ,   sin ⁡ 2 π t b - a , … , cos ⁡ 2 n π t b - a ,     sin ⁡ 2 n π t b - a , … é ortogonal

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Dado o produto definido por,

< f , g >   =   ∫ a b f t g t d t ,   c o m   V = C 0 [ a , b ]

Temos que na letra (a) para mostrar que o polinômio,

Q n t = p n 2 t - a - b b - a ,   c o m   Q n = 2 2 n + 1

Vamos ter que,

2 t - a - b b - a 2 = 2 2 n + 1 2

2 t - a - b b - a = 2 2 n + 1

Logo,

p n = 2

Já na letra (b) dado o conjunto,

1 , cos ⁡ 2 π t b - a ,   sin ⁡ 2 π t b - a , … , cos ⁡ 2 n π t b - a ,     sin ⁡ 2 n π t b - a , …

Para dizer se ele é ortogonal, temos que

p 0 t = 1 ,   p 1 t = t ,   p 2 t = t 2 - 1 3

1 , cos ⁡ π t L , cos ⁡ 2 π t L ,   … , cos ⁡ n π t L , … → e l e   é   o r t o g o n a l

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) p n = 2

b) 1 , cos ⁡ π t L , cos ⁡ 2 π t L ,   … , cos ⁡ n π t L , … → e l e   é   o r t o g o n a l

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