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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 23

Seja V = C 0 [ - 1,1 ] o conjunto das funções contínuas do intervalo [ - 1,1 ] em R com o produto interno definido por

< f , g >   =   ∫ - 1 1 f t g t d t

Prove a seguinte fórmula de recorrência para os polinômios p n ( t ) que são obtidos aplicando-se o processo de ortogonalização de Gran-Schmidt aos polinômios { 1 , t , t 2 , … , t n } :

p n + 1 t = t p n t - n 2 2 n + 1 2 n - 1 p n - 1 ( t )

Para isso siga os seguintes passos:

a) pela t p n ( t ) pode ser escrito em termos de p 0 , … , p n + 1   .

t p n t = ∑ k = 0 n + 1 α n k p k t ,

Onde α n k = < t p n t , p k t > p k 2 = < p n t , t p k t > p k 2 .

Os coeficientes α n k = 0 , para k < n - 1 , pois neste caso t p k t ∈ p n - 1 e da mesma forma que em p n é ortogonal a todo polinomial de p n - 1 . O coeficiente α n n = 0 , pois t p n t 2 é uma função ímpar. O coeficiente α n ( n + 1 ) = 1 , pois os coeficientes de grau n + 1 nos dois membros iguais a 1. Mostre que

α n ( n - 1 ) = < p n t , t p n - 1 t > p n - 1 2 = α n n + 1 n p n 2 p n - 1 2 = p n 2 p n - 1 2 = n 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n - 1 )

b) substituindo-se os valores de α n k encontrados no item anterior, obtenha a fórmula de recorrência que dá o polinômio p n + 1 em função de p n     e     p n - 1 .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos seja V = C 0 [ - 1,1 ] o conjunto das funções contínuas do intervalo [ - 1,1 ] em R com o produto interno definido por

< f , g >   =   ∫ - 1 1 f t g t d t

Prove a seguinte fórmula de recorrência para os polinômios p n ( t ) que são obtidos aplicando-se o processo de ortogonalização de Gran-Schmidt aos polinômios { 1 , t , t 2 , … , t n } :

p n + 1 t = t p n t - n 2 2 n + 1 2 n - 1 p n - 1 ( t )

Para isso siga os seguintes passos:

a) pela t p n ( t ) pode ser escrito em termos de p 0 , … , p n + 1   .

t p n t = ∑ k = 0 n + 1 α n k p k t ,

Onde α n k = < t p n t , p k t > p k 2 = < p n t , t p k t > p k 2 .

Os coeficientes α n k = 0 , para k < n - 1 , pois neste caso t p k t ∈ p n - 1 e da mesma forma que em p n é ortogonal a todo polinomial de p n - 1 . O coeficiente α n n = 0 , pois t p n t 2 é uma função ímpar. O coeficiente α n ( n + 1 ) = 1 , pois os coeficientes de grau n + 1 nos dois membros iguais a 1. Mostre que

α n ( n - 1 ) = < p n t , t p n - 1 t > p n - 1 2 = α n n + 1 n p n 2 p n - 1 2 = p n 2 p n - 1 2 = n 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n - 1 )

b) substituindo-se os valores de α n k encontrados no item anterior, obtenha a fórmula de recorrência que dá o polinômio p n + 1 em função de p n     e     p n - 1 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

V = C 0 [ - 1,1 ] é definido por,

< f , g >   =   ∫ - 1 1 f t g t d t

Com,

p n + 1 t = t p n t - n 2 2 n + 1 2 n - 1 p n - 1 ( t )

Na letra (a) para a proposição,

t p n t = ∑ k = 0 n + 1 α n k p k ( t )

Com,

α n k = < t p n t , p k ( t ) > p k 2 = < p n t ,   t p k t > p k 2

Ficando,

α n ( n - 1 ) = < p n t , t p n - 1 t > p n - 1 2 = α n n + 1 n p n 2 p n - 1 2 = p n 2 p n - 1 2 = n 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n - 1 )

Logo,

α n ( n - 1 ) = 1

Na letra (b) para,

p n + 1 em função de p n   e   p n - 1 , temos que

p n = n n + 1   p n - 1 ( t )

Ficando,

p n = 1,2 , 3 , … , n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) α n ( n - 1 ) = 1

b) p n = 1,2 , 3 , … , n

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