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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.3 - Ex. 15

Seja C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação,

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0

consideremos a matriz A = a b 2 b 2 c . Sejam λ e μ os autovalores de A.

(a) Mostre que λ μ = a c - b 2 4 .

(b) Mostre que se λ μ > 0 , então C é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. ´

(c) Mostre que se λ μ < 0 , então C é uma hipérbole, ou um par de retas concorrentes. ´

(d) Mostre que se   λ μ = 0 , então temos duas possibilidades:

i .   Se λ ≠ 0     o u     μ ≠ 0 , então C e uma par ´ abola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto ´ vazio.

i i .   Se λ = μ = 0 , então C e uma reta.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos temos que seja

C o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equação,

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0

consideremos a matriz A = a b 2 b 2 c . Sejam λ e μ os autovalores de A.

(a) Mostre que λ μ = a c - b 2 4 .

(b) Mostre que se λ μ > 0 , então C é uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio. ´

(c) Mostre que se λ μ < 0 , então C é uma hipérbole, ou um par de retas concorrentes. ´

(d) Mostre que se   λ μ = 0 , então temos duas possibilidades:

i .   Se λ ≠ 0     o u     μ ≠ 0 , então C e uma par ´ abola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto ´ vazio.

i i .   Se λ = μ = 0 , então C e uma reta.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que o teorema é representado por

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0

Com, A = a b 2 b 2 c , temos que na letra (a) para mostrar que λ μ = a c - b 2 4 , devemos entender que,

A - 4 I 2 X = 0 -

Na letra (b) para mostrar se λ μ > 0 sendo C uma elipse em um ponto ou em um conjunto vazio devemos ter que,

y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1           a > b

Na letra ( c ) para mostrar que λ μ < 0 para C sendo uma hipérbole ou um par de rets concorrentes temos,

y 2 = 4 p x ,     p > 0

E por fim na letra (d) para mostrar que λ μ = 0 , tendo

i .   Se λ ≠ 0     o u     μ ≠ 0 , então C e uma par ´ abola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto ´ vazio.

i i .   Se λ = μ = 0 , então C e uma reta.

Devemos saber que

λ ≠ 0       o u     μ ≠ 0 → x 2 = p y ,     p > 0

λ = μ = 0 → λ ≠ μ

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) A - 4 I 2 X = 0 -

b) y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1           a > b

c) y 2 = 4 p x ,     p > 0

d) λ ≠ μ

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