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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 12

Encontre a distância euclidiana entre vec u e vec v .

  1. vec u = ( 1 , 2 , - 3 , 0 ) , vec v = ( 5 , 1 , 2 , - 2 )
  2. vec u = ( 2 , - 1 , - 4 , 1 , 0 , 6 , - 3 , 1 ) , vec v = ( - 2 , - 1 , 0 , 3 , 7 , 2 , - 5 , 1 )
  3. vec u = ( 0 , 1 , 1 , 1 , 2 ) , vec v = ( 2 , 1 , 0 , - 1 , 3 )

Passo 1

Vamos lembrar a definição de distância:

Se vec u = ( u_1 , u_2 , ... , u_n ) e vec v = ( v_1 , v_2 , ... , v_n ) forem pontos em R^n , então denotamos a distância entre vec u e vec v por d ( vec u , vec v ) , que definimos por

d (vec u , vec v) = ‖vec u - vec v‖ = sqrt((u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + cdots + (u_n - v_n)^2)

Então na letra (a) temos:

d (vec u , vec v) = sqrt((1 - 5)^2 + (2 - 1)^2 + (- 3 - 2)^2 + (0 - (- 2))^2) = sqrt(( - 4 )^2 + 1^2 + (- 5)^2 + 2^2 ) -> d (vec u , vec v) = sqrt(46)

Passo 2

Na letra (b) temos:

d (vec u , vec v) = sqrt((2 - ( - 2 ))^2 + (- 1 - ( - 1 ))^2 + (- 4 - 0)^2 + (1 - 3)^2 + (0 - 7)^2 + (6 - 2)^2 + (- 3 - (- 5))^2 + (1 - 1)^2) = sqrt(4^2 + 0^2 + (- 4)^2 + (- 2)^2 + (- 7)^2 + 4^2 + 2^2 + 0^2) -> d (vec u , vec v) = sqrt(105 )

Na letra (c):

d (vec u , vec v) = sqrt((0 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - ( - 1 ))^2 + (2 - 3)^2) = sqrt(( - 2 )^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + ( - 1 )^2) -> d (vec u , vec v) = sqrt(10 )

Resposta

  1. d (vec u , vec v) = sqrt(46)
  2. d (vec u , vec v) = sqrt(105 )
  3. d (vec u , vec v) = sqrt(10 )
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