Seja o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por

Calcule e com .

Explique em palavras por que é fechado na adição e na multiplicação por escalar.

Como a adição em é a operação de adição padrão de , alguns axiomas de espaço vetorial valem em porque é sabido que valem em . Quais axiomas da Definição da seção são esses?

Mostre que valem os axiomas 7,8 e 9.

Mostre que o axioma 10 falha com as operações dadas.

Já para o segundo item temos que falar com nossas palavras o que é ser fechado para a adição e multiplicação por escalar. Sendo assim, observe que é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais. A adição e a multiplicação por escalar produzem um terno de números reais quando eles são realizados. Portanto, é fechado nas duas operações. Dessa forma, dando prosseguimento à nossa resolução vamos ter que os axiomas da definição da seção que podem ser aplicados a são os axiomas pois eles se concentram exclusivamente na adição e como nossa operação de adição nesse espaço é a convencional esses axiomas são válidos.

Agora, temos que provar os axiomas valem no nosso espaço vetorial. Assim teremos primeiramente para o axioma que nos diz que

Para prova-lo vamos sair do lado esquerdo e chegar ao direito fazendo

Procedendo da mesma forma para o axioma 8 que diz

Em vamos ter

Por fim, para o axioma temos

Finalmente, para concluirmos o exercício devemos provar que o axioma não é válido para esse espaço . Esse axioma nos diz que

No caso de com a operação de multiplicação por escalar dada vamos ter que

Portanto, esse axioma não é válido e está mostrado tudo que o exercício desejava de nós.