Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 1
Seja o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
Calcule e com .
Explique em palavras por que é fechado na adição e na multiplicação por escalar.
Como a adição em é a operação de adição padrão de , alguns axiomas de espaço vetorial valem em porque é sabido que valem em . Quais axiomas da Definição da seção são esses?
Mostre que valem os axiomas 7,8 e 9.
Mostre que o axioma 10 falha com as operações dadas.
Passo 1
Para o primeiro item é bastante simples a nossa solução basta substituirmos os valores dados para os vetores nas fórmulas descritas. Assim, obteremos
Passo 2
Já para o segundo item temos que falar com nossas palavras o que é ser fechado para a adição e multiplicação por escalar. Sendo assim, observe que é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais. A adição e a multiplicação por escalar produzem um terno de números reais quando eles são realizados. Portanto, é fechado nas duas operações. Dessa forma, dando prosseguimento à nossa resolução vamos ter que os axiomas da definição da seção que podem ser aplicados a são os axiomas pois eles se concentram exclusivamente na adição e como nossa operação de adição nesse espaço é a convencional esses axiomas são válidos.
Passo 3
Agora, temos que provar os axiomas valem no nosso espaço vetorial. Assim teremos primeiramente para o axioma que nos diz que
Para prova-lo vamos sair do lado esquerdo e chegar ao direito fazendo
Procedendo da mesma forma para o axioma 8 que diz
Em vamos ter
Por fim, para o axioma temos
Passo 4
Finalmente, para concluirmos o exercício devemos provar que o axioma não é válido para esse espaço . Esse axioma nos diz que
No caso de com a operação de multiplicação por escalar dada vamos ter que
Portanto, esse axioma não é válido e está mostrado tudo que o exercício desejava de nós.
Resposta
Sendo assim, observe que é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais. A adição e a multiplicação por escalar produzem um terno de números reais quando eles são realizados. Portanto, é fechado nas duas operações
Os axiomas .