Prove a parte (e) do Teorema 1.4.8.

Passo 1

O item (d) diz que (A B)^T = B^T A^T , vamos encontrar os dois lados da equação e comparar. Nosso produto A B pode ser entendido como a multiplicação de uma linha de A por uma coluna de B , ou seja

[[[A,B]]]_i j = sum_(k = 1)^n a_i k b_k j

Quando a gente transpõe uma matriz, trocamos suas linhas por colunas, logo ficamos com

[[[(A B)^T]]]_i j = sum_(k = 1)^n a_j k b_k i

Agora para B A , podemos expressar como

[[[B,A]]]_i j = sum_(k = 1)^n b_i k a_k j

E transpondo cada termo

[[[B^T,A^T]]]_i j = sum_(k = 1)^n (b_i k)^T (a_k j)^T = sum_(k = 1)^n b_k i a_j k

Como b_k i a_j k = a_j k b_k i , isso demonstra que

sum_(k = 1)^n a_j k b_k i = sum_(k = 1)^n b_k i a_j k <=> (A B)^T = B^T A^T

Que são EXATAMENTE IGUAL!!!!

Resposta

sum_(k = 1)^n a_j k b_k i = sum_(k = 1)^n b_k i a_j k <=> (A B)^T = B^T A^T

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados