Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 2
Seja um espaço euclidiano de dimensão finita. Mostrar que duas quaisquer das propriedades a seguir de um operador implicam a restante:
- é auto-adjunto
- é uma isometria
Passo 1
Vamos lá a nossa questão!
Vejamos o que a questão está nos dizendo. Temos 3 propriedades. Ao selecionarmos aleatoriamente duas delas, implicaremos automaticamente na outra propriedade. E é isto que a questão nos pede para provar.
Portanto, temos que analisar todas as possibilidades possíveis, as quais são: é auto-adjunto e isometria; é uma isometria e ; é auto-adjunto e .
Sendo assim, veremos caso por caso.
Passo 2
Começaremos pelo caso que o nosso operador é auto-adjunto e uma isometria.
Será se estas duas propriedades implicam que ? É isto o que vamos verificar (provar na verdade né).
Então, vejamos só as seguintes implicações do nosso operador. Se ele é um operador autoadjunto, sabemos que a sua matriz é simétrica. Consequentemente, temos que .
Agora, como o operador é uma isometria, a matriz também é uma matriz ortogonal. Logo, .
Estas duas implicações são necessárias para provar que . Para isto, precisamos lembrar da relação entre uma matriz e sua inversa, a qual é:
Mas como ,
E como ,
E assim provamos a nossa primeira possibilidade.
Passo 3
Agora, vamos para o caso em que operador é uma isometria e
Então, vejamos só as seguintes implicações do nosso operador. Se o operador é uma isometria, a matriz é uma matriz ortogonal. Logo, .
Já a outra propriedade que temos é que .
Agora, vamos para a nossa pergunta: será se estas duas propriedades implicam que o operador é auto-adjunto? É isto o que vamos verificar (provar na verdade né).
Para isto, precisamos de uma relação identidade, uma relação que sempre é verdade, independente da matriz que estamos trabalhando. Esta relação é o produto da matriz pela sua inversa, a qual é:
Mas como , temos:
Dá logo uma vontade de cortamos de cada membro e obtermos , mas isto está matematicamente errado! Não existe divisão de matrizes. Então, vamos fazer o “certo”. Multiplicando ambos os membros por , temos:
O resultado é o mesmo, mas obtido corretamente! Para finalizarmos, vamos lembrar que , pois é uma matriz ortogonal. Logo,
Então, a matriz é simétrica, o que implica em ser um operador auto-adjunto!
Passo 4
Agora vamos para o último caso! O operador é auto-adjunto e
A nossa aproximação para resolver este caso é um pouco diferente. Primeiro, temos que:
Mas como o operador é auto-adjunto, sabemos por definição que a sua matriz é simétrica.
Pronto, agora, temos que juntar as duas informações e lembrar que, uma matriz é ortogonal se o seu determinante for igual a e for simétrica, o que é o nosso caso.
Então, como a matriz é ortogonal, temos que o operador é uma isometria.
Assim, concluímos a questão mostrando que, selecionado duas propriedades, automaticamente temos a terceira.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)