Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 6

Sejam T , S ∈ L V operadores auto-adjuntos. Mostrar que: T ∘ S é auto-adjunto se, e somente se, T ∘ S =   S ∘ T .

Passo 1

Vamos lá a nossa questão!

Esta questão pode ser muito difícil se nós estudarmos a teoria de operadores auto-adjuntos apenas pela seção do livro. Na grande realidade, existe muito conteúdo por trás.

Na resolução da questão vamos precisar puxar um pouco deste conteúdo meio obscuro para nos ajudar.

Por exemplo, antes de um operador ser auto-adjunto, o operador deve ser adjunto. Um operador A será adjunto se ele satisfizer a seguinte relação:

A u , v = u , A * v

Percebam que temos A e A * . Este último é chamado adjunta de A . Para o caso em que A = A * , chamamos de operador auto-adjunto.

Então, o operador auto-adjunto é um caso particular de um operador adjunto.

Passo 2

Vamos utilizar a ideia do Passo 1 para resolver esta questão. Se T ∘ S é um operador auto-adjunto, significa que ele é um caso particular de um operador adjunto. Então, temos a seguinte relação:

T ∘ S = T ∘ S *

O operador T ∘ S é igual ao seu adjunto T ∘ S * . Escrevendo em relação as suas matrizes, temos:

T S = T S *

Estamos quase finalizando a prova! Vamos aplicar as propriedades de uma matriz adjunta. A primeira é que:

T S * = S * T *

E como T e S são operadores auto-adjuntos, T = T * e S = S * . Consequentemente,

T S * = S * T * = S T

Portanto, voltando para a relação inicial,

T S = S T

Com isto, acabamos de provar que, se T ∘ S é auto-adjunto se, e somente se, T ∘ S = S ∘ T .

No final, esta questão não é tão difícil se o livro tivesse uma base teórica maior sobre estes operadores.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja H um sub-espaço vetorial do espaço euclidiano V . Então cada v ∈ V se expressa, de uma única maneira, como v = h + t Onde h ∈ H e t ∈ H ⊥ . Considere a aplicação A : V → V definida por A v = h -
Determinar uma base ortonormal de W, onde W é o sub- -espaço de R 4 dado por W={( x ,y ,z ,t ):x+y= 0 e2 x+z=y} .
Seja W um subespaço de um espaço euclidiano de dimensão finita V. Para todo v ϵ V, seja v = w + w ' com w ϵ W e w' ϵ W ⊥ . Mostrar que a aplicação T :V → V dada por: T ( v ) = w - w ' é linear e tem a
Seja { g 1 , g 2 . g 3 } uma base ortogonal de R ³ ³. Para todo uϵR ³ ³definem-se os co-senos diretores de u em relação à base dada por c o sα = u , g 1u , c o sβ = u , g 2u e c o sγ = u , g 3u . Prov
Uma linha de montagem utiliza robôs para a realização das tarefas necessárias para a montagem de um produto. Os técnicos acreditam que é necessário uma programação diferente para garantir a qualidade