Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 1
Seja um sub-espaço vetorial do espaço euclidiano . Então cada se expressa, de uma única maneira, como
Onde e . Considere a aplicação definida por
- Mostrar que é linear e é auto-adjunto.
- Se , com o produto interno usual, e , achar a matriz de relativa à base usual do .
Passo 1
Vamos lá a nossa questão!
Vamos começar pela letra a), mostrando que o operador é auto-adjunto. Para isto, dados e vetores quaisquer pertencentes a , basta provarmos que:
Mas será só isso? Não tem nada demais?
Claro... que não! Hahaha! Tem só uma operação que talvez possa confundir. Pelo enunciado da questão, temos dois vetores e tais que . Então, se a gente faz o produto interno entre e , que pertencem a subespaços distintos e ortogonais entre si, o seu produto interno será igual a zero. Logo,
Provavelmente, esta será a maior dificuldade da letra a). Todo o resto é o bom e velho desenvolvimento de produto interno.
Passo 2
Agora, vamos desenvolver o nosso produto interno para provar a relação de que temos um operador auto-adjunto. Para isto, sejam os vetores e dados por:
Tais que e .Então, se temos um operador auto-adjunto, temos a seguinte relação:
Desenvolvendo-a, temos:
Expandindo o produto interno,
Como os vetores e pertencem a subespaços ortogonais entre si, o produto interno entre eles é igual a 0. Portanto,
E assim chegamos uma identidade! Como a relação acima é uma verdade, o operador realmente é um operador auto-adjunto!
Passo 3
Para a letra b), temos que achar a matriz da transformação em relação a base , base canônica do . Para isto, aplicaremos o mesmo procedimento que fizemos até hoje para outros operadores.
Pegamos o primeiro vetor de , aplicamos a sua transformação e escrevemos como combinação linear dos vetores de . Os coeficientes desta combinação linear serão os coeficientes da primeira coluna de .
Escrevemos matematicamente o que o texto acima diz da seguinte forma:
E assim repetimos para os outros vetores da base .
O problema é que, para obtermos as transformações dos vetores da base , vamos ter que ortonormalizar a base e determinar a base ortonormal .
Precisamos destes resultados pois teremos que projetar os vetores da base nesses subespaços, para conseguirmos os vetores e da definição do nosso operador.
Passo 4
Vamos então a série de contas! Começaremos obtendo a base . Ela será dada pelo conjunto de vetores tais que, em relação ao produto interno usual, temos:
Então, temos:
Então, a nossa base é , a qual já temos dois vetores ortogonais entre si.
Agora, temos que normalizar ambas as bases em relação ao produto interno usual. Começando pela base , temos:
Já para a base , temos:
Portanto, e .
Passo 5
Agora, vamos calcular o resultado do operador para cada um dos vetores da base . Para isto, vamos ter que projetar estes vetores nos subespaços e .
Então, vamos obter as duas projeções para cada vetor inicialmente. Começando por , temos:
Agora, para o vetor , temos:
Por fim, temos o último vetor da base, , temos:
Portanto, as transformações dos vetores da base são:
Passo 6
Eita trabalheira danada! Mas estamos quase lá, agora, podemos escrever o resultado da nossa transformação como combinação linear dos vetores da base , conforme descrito lá no Passo 3. Portanto, temos:
Então, temos e .
Repetindo o mesmo procedimento para o vetor , temos:
Então, temos e . Por fim, para o terceiro vetor, , temos:
Logo, temos e . Então, matriz do operador é:
E assim finalizamos a questão!