Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 4
Seja um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano . Se é um sub-espaço vetorial de com a propriedade
Mostrar que tem também essa propriedade.
Passo 1
Vamos lá a nossa questão! Ela está nos pedindo para mostrar que, dado um vetor , a transformação .
Bom, o difícil desta questão é saber por onde partir, qual a relação que devemos utilizar. Mas, antes disto, vamos relembrar alguns conceitos.
Seja dois vetores e , ambos pertencentes ao espaço vetorial . Deste espaço, podemos dividir em dois subespaços , e seu complemento ortogonal . Por definição, temos então:
Esta definição trás uma implicação muito importante para a gente! Isto significa que a gente pode decompor os nossos vetores e em duas partes. Uma parte pertencerá ao espaço e a outra ao espaço . Portanto,
Passo 2
Feito toda esta definição, vamos ver a decorrência da propriedade dita no enunciado da questão. Como é um operador adjunto, podemos escrever a seguinte relação:
Sendo e vetores quaisquer de .
Só que percebam que que o operador atua sob todo o espaço . Portanto, vamos verificar o que ocorre para que quando fazemos a operação sob vetores e quaisquer. Desta forma, temos:
Como definição do operador e as propriedades sobre o subespaço , vimos que . Logo,
Considerando que e pertencem ao subespaço e que e pertencem ao subespaço , podemos afirmar que o produto interno entre quaisquer par de vetores, de subespaços distintos, é igual a 0. Portanto,
Desta forma, toda a relação que estávamos desenvolvendo se torna:
Que é exatamente a definição de um operador auto-adjunto aplicado a vetores do subespaço .
Então, concluímos a questão mostrando que o subespaço possui a mesma propriedade que o subespaço .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)