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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 3

Seja T ∈ L V um automorfismo. Se T é auto-adjunto, mostrar que T - 1 também o é.

Passo 1

Vamos lá a nossa questão!

Para conseguirmos resolver esta questão, temos que relembrar muito bem as implicações sobre automorfismos e operadores auto-adjuntos.

Então, vamos começar falando sobre automorfismo. Se a transformação T é um automorfismo, significa dizer que ela é bijetora. Portanto, para cada u ∈ V , existe um único v ∈ V tal que:

T u = v

Mas como é uma transformação bijetora, então,

T v = u

E uma consequência de T ser um automorfismo é que T - 1 também o é. Esta transformação inversa será responsável por associar o vetor v ao vetor u . Isto é, T - 1 v = u . Ou também, T - 1 u = v

Estas relações são a sacada que iremos precisar utilizar para mostrar que o operador T - 1 é auto-adjunto se T também o for.

Passo 2

Bom, a gente tem falado bastante sobre um operador auto-adjunto. Mas, afinal, o que é um operador auto-adjunto?

Então, um operador auto-adjunto A ∈ L V qualquer é aquele que satisfaz:

A u , v = u , A v

Para quaisquer u , v ∈ V .

Como o operador T é auto-adjunto, podemos reescrever a definição da seguinte forma:

T u , v = u , T v

Então, para conseguirmos provar que o operador T - 1 também é auto-adjunto, devemos chegar à relação acima, só que com T - 1 no lugar de T . Mas como faremos isto? Bom, para isto, vamos ter que utilizar as relações que obtivemos ao saber que T é um automorfismo.

Então, como T u = v e T - 1 u = v ,

v , T - 1 u = u , T v

E também, como T - 1 v = u e T v = u , temos:

v , T - 1 u = T - 1 v , u

Que é exatamente a definição de um operador auto-adjunto, só que para a transformação inversa de T . Portanto, conseguimos provar a relação da questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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