Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.5 - Ex. 5
Seja um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano . Se , para todo , mostrar que
Passo 1
Vamos lá a nossa questão!
Esta questão pode ser muito difícil se nós estudarmos a teoria de operadores auto-adjuntos apenas pela seção do livro. Na grande realidade, existe muito conteúdo por trás.
Além disto, ela tem um problema. Precisamos considerar que não é ortogonal a . Vamos ter que assumir isto aqui para o resto da questão. E não só isso, também iremos assumir outras coisas.
Bom, então, precisaremos escrever uma base que corresponde aos autovetores do nosso operador . Então, seja o autovalor correspondente a cada autovetor, temos a seguinte relação como verdade:
Então, seja , podemos escrever da seguinte forma:
Até aqui, a única relação diferente foi escrever uma base de autovetores.
Passo 2
Agora, vamos fazer o produto interno do nosso problema. Isto nos dá a seguinte relação:
Como a base é uma base de autovetores, o produto entre vetores diferentes é igual a zero, sobrando apenas os vetores iguais entre si. Portanto,
Como a base é de autovetores, a norma dos vetores é unitário. Portanto, temos:
Passo 3
Para finalizarmos a questão, temos que fazer uma outra consideração. Vamos assumir que todos os autovalores são maiores ou iguais a zero.
Com isto, a nossa expressão, a qual era:
Só será igual a zero, se os coeficientes são iguais a zero.
Com isto, verificamos que .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)