Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 5
Seja W o espaço gerado por e .
(a) Mostre que dado qualquer valor de e
são vetores em .
(b) Mostre que e formam uma base de .
Passo 1
(a)
Vamos lá! Precisamos lembrar de duas identidades trigonométricas pra resolver esse problema
Vamos transformar e em matriz, assim temos:
Se compararmos com os vetores acima, temos que:
Assim como nosso vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores, logo eles pertencem ao nosso espaço .
Passo 2
(b)
Como e são linearmente independentes pois.
Somente para a solução trivial, e .
Agora para provarmos que nosso sistema gera todo o espaço temos que provar que:
Para isso só escolhermos coeficiente e zerarmos os demais, no caso vamos escolher a.
Logo gera todo o , logo formam uma base de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)