Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 20
Nos exercicios 19-21, prove que o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial.
19 O conjunto de todas as sequências infinitas de números reais com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas no Exemplo 3.
Passo 1
As operações definidas são as seguintes:
e
Com escalares quaisquer.
Passo 2
Agora vamos conferir os Axiomas 1 e 6. Se eles valerem, vamos conferir os outros axiomas que ficaram faltando.
Seja e , então
Axioma 1:
A soma de dois vetores infinitos sempre será um vetor infinito, então o espaço é fechado para a soma.
Axioma 6:
O vetor que obtemos continua sendo uma sequencia infinita de números reais, ou seja, o espaço vetorial também e fechado para a multiplicação por escalar.
Agora vamos para os outros.
Passo 3
Axioma 2:
Seja , então:
Como os termos dessa sequencia são reais podemos reescrever dessa forma
Passo 4
Axioma 3:
Seja , então:
Como os termos dessa sequencia são reais podemos reescrever dessa forma
Passo 5
Axioma 4:
Seja , então:
Passo 6
Axioma 5:
Seja , então:
Passo 7
Axioma 7:
Seja e , então:
Como os termos dessa sequencia são reais podemos reescrever dessa forma
Passo 8
Axioma 8:
Seja e , então:
Passo 9
Axioma 9:
Seja e , então:
Por se tratar de números Reais, podemos escrever:
Passo 10
Axioma 10:
Seja , então:
Como segue todos os aximas certinho então é um espaço vetorial :)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)