Enunciado

Nos exercicios 19-21, prove que o conjunto com as operações dadas é um espaço vetorial.

19 O conjunto de todas as sequências infinitas de números reais com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas no Exemplo 3.

Passo 1

As operações definidas são as seguintes:

u + v = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   …

u + v = u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   … ,   u n + v n ,   …

e

a u = a u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

a u = a u 1 ,   a u 2 ,   … ,   a u n ,   …

Com escalares a quaisquer.

Passo 2

Agora vamos conferir os Axiomas 1 e 6. Se eles valerem, vamos conferir os outros axiomas que ficaram faltando.

Seja u ,   v ∈ V e a ∈ R , então

Axioma 1:

u + v = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   …

u + v = u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   … ,   u n + v n ,   …

A soma de dois vetores infinitos sempre será um vetor infinito, então o espaço é fechado para a soma.

Axioma 6:

a u = a u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

a u = a u 1 ,   a u 2 ,   … ,   a u n ,   …

O vetor que obtemos continua sendo uma sequencia infinita de números reais, ou seja, o espaço vetorial também e fechado para a multiplicação por escalar.

Agora vamos para os outros.

Passo 3

Axioma 2:

Seja u ,   v ∈ V , então:

u + v = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   …

u + v = u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   … ,   u n + v n ,   …

Como os termos dessa sequencia são reais podemos reescrever dessa forma

u + v = v 1 + u 1 ,   v 2 + u 2 ,   … ,   v n + u n ,   …

u + v = v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   … + u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

u + v = v + u

Passo 4

Axioma 3:

Seja u ,   v ,   w ∈ V , então:

u + v + w = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   … + w 1 ,   w 2 ,   … ,   w n ,   …

u + v + w = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + v 1 + w 1 ,   v 2 + w 2 ,   … ,   v n + w n ,   …

u + v + w = u 1 + v 1 + w 1 , u 2 + v 2 + w 2 ,   … , u n + v n + w n ,   …

Como os termos dessa sequencia são reais podemos reescrever dessa forma

u + v + w = u 1 + v 1 + w 1 , u 2 +   v 2 + w 2 ,   … , u n +   v n + w n ,   …

u + v + w = u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   … ,   u n + v n ,   … + w 1 ,   w 2 ,   … ,   w n ,   …

u + v + w = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   … + w 1 ,   w 2 ,   … ,   w n ,   …

u + v + w = u + v + w

Passo 5

Axioma 4:

Seja u ∈ V , então:

u + 0 = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   …

u + 0 = u 1 + 0 ,   u 2 + 0 ,   … ,   u n + 0 ,   …

u + 0 = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … = u

u + 0 = 0 + u 1 ,   0 + u 2 ,   … ,   0 + u n ,   …

u + 0 = 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   … + u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

u + 0 = 0 + u

Passo 6

Axioma 5:

Seja u ∈ V , então:

u + - u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + - u 1 ,   - u 2 ,   … ,   - u n ,   …

u + - u = u 1 - u 1 ,   u 2 - u 2 ,   … ,   u n - u n ,   …

u + - u = 0 ,   0 ,   … ,   0 ,   …

u + - u = 0

Passo 7

Axioma 7:

Seja u ,   v ∈ V e a ∈ R , então:

a u + v = a u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   …

a u + v = a ⋅ u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 ,   … ,   u n + v n ,   …

a u + v = a u 1 + v 1 ,   a u 2 + v 2 ,   … ,   a u n + v n ,   …

Como os termos dessa sequencia são reais podemos reescrever dessa forma

a u + v = a u 1 + a v 1 ,   a u 2 + a v 2 ,   … ,   a u n + a v n ,   …

a u + v = a u 1 ,   a u 2 ,   … ,   a u n ,   … + a v 1 ,   a v 2 ,   … ,   a v n ,   …

a u + v = a u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + a v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n ,   …

a u + v = a ⋅ u + a ⋅ v

Passo 8

Axioma 8:

Seja u ∈ V e a , b ∈ R , então:

a + b ⋅ u = a + b ⋅ u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

a + b ⋅ u = a + b u 1 ,   a + b u 2 ,   … ,   a + b u n ,   …

a + b ⋅ u = a u 1 + b u 1 ,   a u 2 + b u 2 ,   … ,   a u n + b u n ,   …

a + b ⋅ u = a u 1 ,   a u 2 ,   … ,   a u n ,   … + b u 1 ,   b u 2 ,   … ,   b u n ,   …

a + b ⋅ u = a u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   … + b u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

a + b ⋅ u = a u + b u

Passo 9

Axioma 9:

Seja u ∈ V e a , b ∈ R , então:

a b u = a b ⋅ u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

a b u = a ⋅ b u 1 ,   b u 2 ,   … ,   b u n ,   …

a b u = a b u 1 ,   a b u 2 ,   … ,   a b u n ,   …

Por se tratar de números Reais, podemos escrever:

a b u = a b u 1 ,   a b u 2 ,   … ,   a b u n ,   …

a b u = a b u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

a b u = a b u

Passo 10

Axioma 10:

Seja u ∈ V , então:

1 u = 1 ⋅ u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

1 u = 1 ⋅ u 1 ,   1 ⋅ u 2 ,   … ,   1 ⋅ u n ,   …

1 u = u 1 ,   u 2 ,   … ,   u n ,   …

1 u = u

Como segue todos os aximas certinho então é um espaço vetorial :)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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