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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 16

Seja P 1 o espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 1 . Definimos o produto interno entre dois vetores p e q de P 1 como segue:

p ⋅ q = 2 a c + a d + b c + 2 b d

Sendo p t = a t + b q t = c t + d

  1. Calcular o ângulo entre t - 1 e 3 t .
  2. Encontrar um vetor r ( t ) ortogonal ao vetor t - 1 .

Passo 1

  1. Vamos lá, falou em ângulo, falou em produto interno. Isso porque tem aquela fórmula:

    2. p ⋅ q = p q c o s θ

    Os nossos vetores são p = 1 t - 1 e q = 3 t + 0 . Com isso a gente já consegue calcular o produto interno pela definição que ele nos deu. Vamos usar também o fato de que u 2 = u ⋅ u pra calcular o módulo de p e de q . O produto interno deles vai ser:

    p ⋅ q = 2 1 3 + 1 0 + - 1 3 + 2 - 1 0

    p ⋅ q = 3

    Passo 2

    Beleza, agora vamos pros módulos. Primeiro pro vetor p :

    p 2 = p ⋅ p = 2 1 1 + 1 - 1 + - 1 1 + 2 - 1 - 1

    p 2 = 2

    p = 2

    Agora pro vetor q :

    q 2 = q ⋅ q = 2 3 3 + 3 0 + 0 3 + 2 0 0

    q 2 = 18

    q = 3 2

    Aí sim podemos substituir na fórmula:

    p ⋅ q = p q c o s θ

    3 = 2 3 2 c o s θ

    c o s θ = 1 2

    θ = 60 °

    Passo 3

  2. Beleza, agora ele quer um vetor r ( t ) ortogonal ao vetor t - 1 . O que “ortogonal” te lembra? Isso aí, produto interno igual a 0 . Então vamos fazer isso! Vamos pegar um vetor r t = a t + b e calcular o produto interno dele com t - 1 .

r t ⋅ t - 1 = a t + b ⋅ t - 1

2 a c + a d + b c + 2 b d

r t ⋅ t - 1 = 2 a - a + b - 2 b

r t ⋅ t - 1 = a - b

Esse produto tem que ser igual a 0 :

a - b = 0

a = b

Assim, qualquer vetor que tenha as duas componentes iguais é ortogonal ao vetor t - 1 , ou seja, os vetores r ( t ) são da forma

r t = a t + a

Um vetor que serve, por exemplo, é o vetor:

t 1 = t + 1

Resposta

  1. θ = 60 °
  2. t + 1
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