Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau . Definimos o produto interno entre dois vetores e de como segue:
Sendo
- Calcular o ângulo entre e .
- Encontrar um vetor ortogonal ao vetor .
Passo 1
- Vamos lá, falou em ângulo, falou em produto interno. Isso porque tem aquela fórmula:
- Beleza, agora ele quer um vetor ortogonal ao vetor . O que “ortogonal” te lembra? Isso aí, produto interno igual a . Então vamos fazer isso! Vamos pegar um vetor e calcular o produto interno dele com .
Os nossos vetores são e . Com isso a gente já consegue calcular o produto interno pela definição que ele nos deu. Vamos usar também o fato de que pra calcular o módulo de e de . O produto interno deles vai ser:
Passo 2
Beleza, agora vamos pros módulos. Primeiro pro vetor :
Agora pro vetor :
Aí sim podemos substituir na fórmula:
Passo 3
Esse produto tem que ser igual a :
Assim, qualquer vetor que tenha as duas componentes iguais é ortogonal ao vetor , ou seja, os vetores são da forma
Um vetor que serve, por exemplo, é o vetor: