Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 12
Consideremos no , o seguinte produto interno:
Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores
Passo 1
Bom, pra ser ortogonal, o produto interno tem que ser igual a zero.
Vamos considerar um vetor qualquer .
A gente precisa que:
e
Vamos montar isso aí então, lembrando que o produto interno que a gente vai usar é o que deram no enunciado...
Passo 2
Ficamos então com:
Daí temos:
Passo 3
Se a gente fizer , ficamos com e .
Ou seja: é um vetor ortogonal a ao mesmo tempo...
Na verdade, qualquer vetor da forma é.
Obs: O vetor encontrado vai depender da sua solução no sistema, tem muitos, esse é só um deles.
Resposta
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Verificar a desigualdade de Cauchy quando se tem: u = 2 , - 1ev = ( - 2,4 ) e o produto interno do problema 1b. u = - x 2 + x - 3 e v = 3 x 2 - x + 1 e o produto interno do problema 5.
Sejam u = ( x 1 ,x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) vetores genéricos do R 2 . Para que valores de t ∈ R a função u ,v = x 1 y 1 + t x 2 y 2 é um produto interno sobre o R 2 ?
No espaço V = P 3 R consideremos o produto interno f ( t ) ,g ( t ) = ∫ 0 1 f t g t d t .Calcular f ( t ) ,g ( t ) , f ( t ) ,g ( t ) e f t + g ( t ) quando f t = t 3 - t - 1 e g t = t 2 + 1 . Repita
Sejam f ( t )=a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n e ² g ( t )=b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n ² polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →a 0b 0 + a 1 b 1 + . . .
Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se u , v é um produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função P T : V × V → R definida por P T ( u , v ) = T ( u ) , T ( v ) .