Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 14

Determinar os vetores para que o conjunto seja uma base ortogonal em em relação ao produto interno usual. Construir a partir de uma base ortonormal.

Passo 1

Bom, pra ser ortogonal, o produto interno tem que ser igual a zero.

Nesse caso, os produtos internos entre os vetores da base têm que ser zero.

Ou seja...

E o produto interno é usual...

Passo 2

Temos que resolver então:

Isolando o na primeira...

Jogamos na segunda e...

Substituindo na primeira...

Passo 3

Vamos fazer . Ficamos com e .

O vetor então faz com a base seja ortogonal.

Na verdade, qualquer vetor com faz.

Passo 4

Falta a base ortonormal então...

Vamos considerar . A gente tem que normalizar esses vetores.

Normalizamos agora (é só dividir os valores do vetor pela norma) e obtemos a base ortonormal...

Prontinho😉

Resposta

com

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Se u =a 1 b 1 c 1 d 1ev =a 2 b 2 c 2 d 2 São matrizes quaisquer de M(2,2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço: u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 Dados os vetores: u

Consideremos no R 3 , o produto interno usual. Para que valores de m os vetores uev são ortogonais? u = 3 m , 2 , - m e v = - 4,1 , 5 u = ( 0 , m - 1,4 ) e v = ( 5 , m - 1 , - 1 )

Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x -

Seja V = R 3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R 3 ortogonal aos vetores v 1 = 1,1 , 2 ,v 2 = 5,1 , 3ev 3 = ( 2 , - 2 , - 3 ) .

No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .