Seja T x , y , z = 2 x + y , x + y + z , y - 3 z de R 3 em R 3 com produto interno canônico.Mostre que T é um operador auto-adjunto mas não ortogonal.Se v = ( 2 , - 1,5 ) e w = ( 3,0 , 1 ) , verifique que T v ,w = v , T w .Exiba uma base de autovetores de T e verifique que é uma base ortogonal. A partir desta base, escreva uma base ortonormal.

Demonstração;Demonstração; 0,047 - 0,247 1 , - 2,513 3,577 1 , 8,466 5,670 1 .

Enunciado

Bom, pra mostrar que ele é auto-adjunto devemos primeiro escrever a matriz da transformação na base canônica do .

Para isso, vamos calcular a imagem da base canônica dessa, veja:

Então a matriz da transformação é:

Veja que essa matriz é simétrica, então o operador é auto adjunto.

Para mostrar que ele não é ortogonal, vamos multiplicar a matriz dada pela sua transposta, que é igual a ela mesma, pois é simétrica. Veja:

Como não resultou na matriz identidade, sua transposta não é sua inversa e o operador não é ortogonal.

Agora vamos calcular:

Então, .

Ou seja:

As raízes dessa equação não são simples e podem ser encontradas com ferramentas computacionais.

Usando ferramentas computacionais, temos a seguinte base de autovetores APROXIMADOS:

Que é ortogonal, como você pode verificar fazendo o produto escalar dois a dois.