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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 6

Dada a matriz A = a 0 0 0 b c 0 c b

  1. Mostre que os autovalores são: a ,   b + c   e   b - c
  2. Ache uma base de autovetores

Passo 1

  1. Para achar seus autovalores, devemos resolver a seguinte equação:

    2. λ - a 0 0 0 λ - b - c 0 - c λ - b = 0

    Note que podemos escrever:

    ( λ - a ) 1 0 0 0 λ - b - c 0 - c λ - b = 0

    Aplicando Laplace à primeira coluna:

    λ - a λ - b - c - c λ - b = λ - a [ λ - b 2 - c 2 ] = ( λ - a ) ( λ - b + c ) ( λ - b - c )

    Suas raízes são:

    a ,   b - c   e   b + c  

    Vamos assumir que os autovalores são distintos a partir daqui.

    Passo 2

  2. Para λ = a :

a 0 0 0 b c 0 c b x y z = a x y z

Ou seja:

a x b y + c z c y + b z = a x a y a z

Veja que a x = a x sempre. Então vamos analizar o sistema:

b y + c z = a y c y + b z = a z

Isolando z , temos:

c 2 - a - b 2 z = 0

Se z não for nulo, os autovalores não serão todos distintos. Então z = y = 0 e o autovetor associado é:

x 0 0 = x 1 0 0

Passo 2

Para λ = b - c :

a x b y + c z c y + b z = ( b - c ) x ( b - c ) y ( b - c ) z

Da primeira componente:

a - b - c x = 0

Como os autovalores são distintos, devemos ter x = 0 .

Além disso, das outras componentes:

y + z c = 0

Supondo c ≠ 0 , caso contrário teríamos autovalores iguais:

y + z = 0 ⇒ y = - z

O autovetor fica:

y 0 1 - 1

Passo 3

Para λ = b + c :

a x b y + c z c y + b z = ( b + c ) x ( b + c ) y ( b + c ) z

Da primeira componente:

a - b + c x = 0

Como os autovalores são distintos, devemos ter x = 0 .

Além disso, das outras componentes:

y - z c = 0

Supondo c ≠ 0 , caso contrário teríamos autovalores iguais:

y + z = 0 ⇒ y = z

O autovetor fica:

y 0 1 1

Passo 4

Bom, como temos um conjunto de autovetores associados a autovalores distintos, temos três vetores LI e, portanto, uma base.

Resposta

  1. Demonstração;
  2. Base: 1 0 0 , 0 1 - 1 , 0 1 1   .
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