Seja a função

f :   R 2 × R 2 → M ( 1 ,   1 )

( x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 → x 1 y 1 1 1 1 2 x 2 y 2

Mostrar que f é um produto interno em R 2 e calcular:

  1. A norma do vetor ( 1 ,   3 ) ;
  2. Um vetor unitário a partir de ( 1 ,   3 )
  3. Um vetor ortogonal a ( 1 ,   3 )

Passo 1

Primeiro vamos começar desenvolvendo a expressão desse produto interno f , fazendo a multiplicação das matrizes:

f :   x 1 y 1 1 1 1 2 x 2 y 2 = x 1 y 1 x 2 + y 2 x 2 + 2 y 2

f :   x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2 y 1 y 2

Passo 2

Pra encontrar a norma, vamos usar:

u 2 = u ⋅ u

( 1,3 ) 2 = 1 ,   3 ⋅ 1 ,   3

1,3 2 = 1 1 + 1 3 + 3 1 + 2 3 3

1,3 2 = 25

1,3 = 5

Passo 3

Agora, pra encontrar o vetor unitário, é só a gente pegar um múltiplo de ( 1 ,   3 ) que tenha módulo 1 . A gente já viu que o próprio ( 1 ,   3 ) tem módulo 5 , então pra chegar no módulo unitário, é só a gente pegar o ( 1 ,   3 ) dividido por 5 .

v = 1 5 , 3 5

Passo 4

Agora vamos pegar um vetor ( x ,   y ) e fazer o produto interno com o ( 1 ,   3 ) ser 0 , porque isso define os vetores ortogonais!

x , y ,   1 ,   3 = x + 3 x + y + 2 3 y

4 x + 7 y = 0

4 x = - 7 y

Os vetores ortogonais a ( 1 ,   3 ) atendem isso aí. Então é só a gente pegar um vetor que atenda isso aí! Por exemplo, pra y = 4 , x = - 7 . Todos os outros vetores que tivermos vão ser múltiplos desse. Por isso, nossos vetores são da forma:

t ( - 7 ,   4 )

Resposta

  1. 1,3 = 5
  2. 1 5 , 3 5
  3. t ( - 7 ,   4 )
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