Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 9
Seja a função
Mostrar que é um produto interno em e calcular:
- A norma do vetor ;
- Um vetor unitário a partir de
- Um vetor ortogonal a
Passo 1
Primeiro vamos começar desenvolvendo a expressão desse produto interno , fazendo a multiplicação das matrizes:
Passo 2
Pra encontrar a norma, vamos usar:
Passo 3
Agora, pra encontrar o vetor unitário, é só a gente pegar um múltiplo de que tenha módulo . A gente já viu que o próprio tem módulo , então pra chegar no módulo unitário, é só a gente pegar o dividido por .
Passo 4
Agora vamos pegar um vetor e fazer o produto interno com o ser , porque isso define os vetores ortogonais!
Os vetores ortogonais a atendem isso aí. Então é só a gente pegar um vetor que atenda isso aí! Por exemplo, pra , . Todos os outros vetores que tivermos vão ser múltiplos desse. Por isso, nossos vetores são da forma:
Resposta
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Seja V um espaço euclidiano com produto interno u , v . Para que valores de α ∈R a aplicação: u , v → α u , v Também é produto interno sobre V ?
No espaço vetorial euclidiano R 4 sejam u = 1,2 , 0,1 e v = ( 3,1 , 4,2 ) . Determinar u , v ,u ,v ,d u , v ,u + v u + v e o cosseno do ângulo de u e v .
Verifique a lei do paralelogramo num espaço euclidiano V : u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 ,∀ u , v∈ V .
Sabendo que u = 3 e v = 5 , com u e v elementos de um espaço euclidiano, determine α ∈R de maneira que u + α v , u - α v = 0
Mostrar que, se u ,v = 0 , para todo vetor v , então u = o .