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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 10

Seja A uma matriz diagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero ( a i j = 0 para i ≠ j ) . Se a i i ≠ 0 , para i = 1 , … , n , mostre que A é invertível e a sua inversa e também uma matriz diagonal com elementos na diagonal dados por 1 a 11 , 1 a 22 , … , 1 a n n .

Passo 1

Fala aeeeee, tudo tranquilo?

Seja A uma matriz diagonal n   x   n , temos:

A =   a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n

Para A ser invertível, ela deve satisfazer a condição:

A . A - 1 = I n

Passo 2

Seja A - 1 uma matriz qualquer, tal que:

A - 1 = x ⋯ y ⋮ ⋱ ⋮ z ⋯ w

Temos que:

A . A - 1 = I n

a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n x ⋯ y ⋮ ⋱ ⋮ z ⋯ w =   1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1

x = 1 a 11

y = 0

z = 0

w = 1 a n n

A - 1 =   1 a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 a n n

Portanto, A - 1 é invertível e a sua inversa e também uma matriz diagonal.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

Exercícios de Livros Relacionados

Considere a matriz A = a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮⋮ 0 0 ⋯ a n n Em que a 11 a 22 ⋯ a n n ≠ 0 . Mostre que A é invertível e encontre sua inversa.
A matriz A do Exercício 21.
A matriz A do Exercício 18.
Mostre que se p x = x 3 - ( a + b + c ) x 2 + a b + a e + b e - c d x - a ( b e - c d ) e A = a 0 0 0 b c 0 d e Então p A = 0 .
Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz A = 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1