Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 18a
Seja uma matriz .
(a)Mostre que o determinante de é o produto de todas as raízes do polinômio característico de ; (Sugestão: .)
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Que ótimo!
(a)Nesse primeiro item, temos que tentar obter da expressão . De preferência, queremos mostrar que . Vamos começar devagarinho, para , a matriz é:
Então,
Passo 2
Assim,
onde e é a soma dos elementos da diagonal. Por outro lado,
Agora, nós podemos comparar as duas expressões. Mas se liga, só podemos comparar com , com e assim por diante. Então
e
.
Opa, olha só o que encontramos: o determinante da matriz é igual a multiplicação dos autovalores. Muito legal, só que agora temos que mostrar para um qualquer. Então, se liga no próximo passo.
Passo 3
Seguindo a ideia de , podemos encontrar algo do tipo
Não precisamos nos preocupar com os coeficientes e já já vai dar pra entender o porquê. A ideia aqui é entender que vamos ter sozinho (tem só acompanhando), como coeficiente de , como coeficiente de e os demais termos não são importantes agora. Por outro lado,
Comparando as duas expressões, vemos que
E chegamos ao nosso resultado. Espero que tenha gostado e te vejo no próximo desafio.
Resposta
Veja a resolução acima.