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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 6

Mostre que se uma matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal (isto é, existem P e D , com P - 1 = P t e D diagonal, tais que A = P D P t então A é uma matriz simétrica.

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem? Espero que sim.

Bom, uma matriz é simétrica quando ela é igual a sua transposta. Além disso, temos P - 1 = P t , temos ( P t ) t = P . Assim, vamos supor que A = P D P t e provar que a matriz é simétrica. Para fazer isso, vamos calcular a transposta de A = P D P t :

A t = ( P D P t ) t = ( P t ) t D t P t = P D P t = A

onde usamos o fato de que a transposta de uma matriz diagonal é ela mesma, D t = D . Pronto, conseguimos mostrar que se A = P D P t , então A t = A , ou seja, a matriz é simétrica. É só isso, mais nada!

Resposta

Veja a resolução acima.

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