Mostre que se uma matriz é diagonalizável por uma matriz ortogonal (isto é, existem e , com e diagonal, tais que então é uma matriz simétrica.
Passo 1
E aí, galera! Tudo bem? Espero que sim.
Bom, uma matriz é simétrica quando ela é igual a sua transposta. Além disso, temos , temos . Assim, vamos supor que e provar que a matriz é simétrica. Para fazer isso, vamos calcular a transposta de :
onde usamos o fato de que a transposta de uma matriz diagonal é ela mesma, . Pronto, conseguimos mostrar que se , então , ou seja, a matriz é simétrica. É só isso, mais nada!
Resposta
Veja a resolução acima.