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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 19

Seja A uma matriz mxn e X =   x 1 ⋮ x n uma matriz nx1. Prove que AX = ∑ j = 1 n x j A j , em que A j é a j-ésima coluna de A.

Passo 1

Primeiramente, vamos desenvolver o somatório, de forma a explicitar o que ele significa:

∑ j = 1 n x j A j = x 1 A 1 + x 2 A 2 + x 3 A 3 + … + x n A n

Passo 2

Agora, desenvolvendo o produto matricial:

A X =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ∙ x 1 ⋮ x n

A X = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + … + a 1 n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + … + a 2 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + … + a m n x n  

Passo 3

Considerando que cada coluna de A pode ser descrita por A j , com j = 1, 2, 3...n, pode-se, por exemplo, descrever a primeira coluna de A como: A 1 = a 11 ⋮ a m 1 . Dessa forma:

A 1 x 1 = a 11 x 1 ⋮ a m 1 x 1 .

De modo semelhante:

A 2 x 2 = a 12 x 2 ⋮ a m 2 x 2 ,

A n x n = a 1 n x n ⋮ a m n x n .

Passo 4

Pela propriedade da soma de matrizes:

a 11 x 1 ⋮ a m 1 x 1 + a 12 x 2 ⋮ a m 2 x 2 + … + a 1 n x n ⋮ a m n x n =   a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n

O que é equivalente a A X , como foi visto anteriormente.

Reescrevendo:

A 1 x 1 + A 2 x 2 + … + A n x n = a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = A X

Assim:

∑ j = 1 n x j A j = a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = A X

Resposta

∑ j = 1 n x j A j = a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = A X

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