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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.4 - Ex. 8c

Seja B uma matriz quadrada 2 × 2 .

c) Quais as condições sobre B e θ para que R θ B = B R θ . Dê um exemplo.

Passo 1

Aqui precisamos inicialmente aplicar ambas as rotações, de maneira bem similar ao que fizemos anteriormente, beleza? Vamos lá!

Passo 2

Na alternativa b) obtemos

B R θ = B 11 cos ⁡ ( θ ) + B 12 sin ⁡ θ - B 11 sin ⁡ θ + B 12 cos ⁡ θ B 21 cos ⁡ ( θ ) + B 22 sin ⁡ ( θ ) - B 21 sin ⁡ θ + B 22 cos ⁡ ( θ )           ( 1 ) .

E na alternativa a) obtemos:

R θ B = cos ⁡ ( θ ) B 11 - sin ⁡ θ B 21 cos ⁡ ( θ ) B 12 - sin ⁡ θ B 22 sin ⁡ ( θ ) B 11 + cos ⁡ ( θ ) B 21 sin ⁡ θ B 12 + cos ⁡ ( θ ) B 22           ( 2 ) .

Vamos igualar estas relações e ver se isso nos diz algo sobre o sistema!

Passo 3

Igualando (2) e (3), temos:

B 11 cos ⁡ ( θ ) + B 12 sin ⁡ θ - B 11 sin ⁡ θ + B 12 cos ⁡ θ B 21 cos ⁡ ( θ ) + B 22 sin ⁡ ( θ ) - B 21 sin ⁡ θ + B 22 cos ⁡ ( θ ) = = cos ⁡ ( θ ) B 11 - sin ⁡ θ B 21 cos ⁡ ( θ ) B 12 - sin ⁡ θ B 22 sin ⁡ ( θ ) B 11 + cos ⁡ ( θ ) B 21 sin ⁡ θ B 12 + cos ⁡ ( θ ) B 22

Temos quatro equações que vinculam o nosso ângulo e parâmetros! Saca só!

B 11 cos ⁡ θ + B 12 sin ⁡ ( θ ) = cos ⁡ ( θ ) B 11 - sin ⁡ θ B 21 → B 12 sin ⁡ θ = - B 21 sin ⁡ ( θ )           ( 3 )

- B 11 sin ⁡ θ + B 12 cos ⁡ θ = cos ⁡ θ B 12 - sin ⁡ θ B 22 →   - B 11 sin ⁡ θ = - B 22 sin ⁡ ( θ )         ( 4 )

B 21 cos ⁡ ( θ ) + B 22 sin ⁡ ( θ ) = sin ⁡ ( θ ) B 11 + cos ⁡ ( θ ) B 21 → B 22 sin ⁡ ( θ ) = B 11 sin ⁡ ( θ )           ( 5 )

- B 21 sin ⁡ θ + B 22 cos ⁡ θ = sin ⁡ θ B 12 + cos ⁡ θ B 22 → - B 21 sin ⁡ θ = B 12 sin ⁡ ( θ )           ( 6 )

Mas o que isso nos diz sobre os parâmetros?

Passo 4

As quatro equações acima nos indicam que o ângulo   θ não é importante para termos a igualdade, ele pode ser qualquer, no entanto, é preciso que B 11 = B 22 e B 12 = - B 21 , ou seja, B é da seguinte forma:

B = B 11 B 12 - B 12 B 11  

Vamos utilizar um exemplo bem simples, temos o seguinte:

B = 1 1 - 1 1

O produto matricial que queremos é tal que:

cos ⁡ ( θ ) + sin ⁡ θ - sin ⁡ θ + cos ⁡ θ - cos ⁡ ( θ ) + sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ θ + cos ⁡ ( θ ) = cos ⁡ ( θ ) + sin ⁡ θ cos ⁡ ( θ ) - sin ⁡ θ sin ⁡ ( θ ) - cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ θ + cos ⁡ ( θ )

A igualdade verifica-se, portanto, a nossa tentativa é válida! A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos

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