Considere dois sistemas de coordenada R = { O , i → , j → , k → } no sistema S = { O , i → , U 2 , U 3 } , em que o sistema S é obtido do sistema R por uma rotação do ângulo θ em torno do eixo x , Determine a relação entre as coordenadas, ( x ' , y ' , z ' ) , em relação ao sistema S e ( x , y , z ) , em relação ao sistema R .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A primeira coisa a se fazer é lembrar que uma rotação de um sistema de coordenadas em duas dimensões, ocorre da seguinte forma:

Aqui eu escolhi y   e   z como exemplos simplesmente porque o enunciado diz que a rotação ocorre ao redor do eixo x . Nós precisamos generalizar isso para o caso pedido no enunciado, beleza?

Passo 2

Temos a seguinte situação generalizada:

O ponto aqui é analisar esta matriz e identificar o valor dos parâmetros que foram adicionados! Note que temos uma rotação em torno do eixo x , como discuti no passo 1. Portanto, a relação entre as coordenadas y '   e   z ' com as y e z , devem ser que nem a que está no passo (1), saca só o que obtemos se fizermos o produto matricial!

Nós obtemos um sistema de equações lineares! Portanto, para que isso tenha equivalência ao sistema anteriormente estabelecido, é preciso que y a = z a = 0 , obtendo:

y ' = c o s θ   y + s i n θ   z

z ' = - s i n θ   y + c o s θ   z

Beleza, vamos achar os parâmetros que faltam!

Passo 3

Agora, vamos usar a informação de que o vetor de base i → = ( 1,0 , 0 ) se manteve inalterado, portanto, temos que:

1   =   x a   1

Desta forma, é necessário que x a = 1 . No entanto, e x b , x c ? Nas condições estabelecidas acima eles indicam translações da origem do sistema de coordenadas, como a origem se mantém, temos que x b = x c = 0 . Temos então no fim das contas:

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos

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