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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 4

Seja D : P 3 → P 3 o operador de derivação D ( p ) = p ' . Determine uma base para o núcleo de D e para a sua imagem.

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo belezinha?

Vamos começar lembrando que o núcleo é conjunto de vetores para os quais o operador gera um vetor nulo como resultado. No caso do operador de derivação, precisamos dos polinômios p tais que D ( p ) = p ' = 0 . Como p está definido em P 3 , já que D : P 3 → P 3 , então temos um polinômio de grau 3 , ou seja,

p = a t 3 + b t 2 + c t + d

Quando aplicamos D a esse polinômio, obtemos

D p = D ( a t 3 + b t 2 + c t ) = 3 a t 2 + 2   b t + c

Como queremos D p = 0 , então a = b = c = 0 . Ou seja, os vetores do núcleo são do tipo p = d e a base para o núcleo vai ser p 1 ( t ) = 1 .

Passo 2

A imagem é o conjunto de vetores que a gente obtém depois de aplicar o operador. Já calculamos isso no passo anterior:

D p = D ( a t 3 + b t 2 + c t ) = 3 a t 2 + 2   b t + c

Ou seja, os vetores da Imagem são do tipo 3 a t 2 + 2   b t + c . Então, precisamos de três vetores de base para gerar a imagem: 3 t 2 , 3 t , 1 , porque a partir deles todos os vetores da imagem podem ser gerados.

Resposta

p 1 ( t ) = 1 é a base do núcleo e 3 t 2 , 3 t , 1 é a base da imagem.

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