Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 8
Defina por . Mostre que é um isomorfismo.
Passo 1
E aí, pessoal! Confusos com essa questão? Não tem problema, vem comigo que a gente Responde Aí!
Bom, vamos começar entendendo que é um polinômio de grau . Assim,
Então, a transformação linear nos dá
Antes de continuar, vamos lembrar da definição de isomorfismo. Basicamente, quando uma transformação linear é injetiva e sobrejetiva, então ela é um isomorfismo.
Passo 2
Pronto, agora temos todos os ingredientes para resolver a questão. Para que a transformação linear seja injetiva, o núcleo dela precisa ser somente o vetor nulo, (dá uma olhadinha no Teorema 3.7). Usando o resultado anterior, vemos que nos dá
Ou seja, , o que indica que o único vetor que gera o vetor nulo após a transformação é o próprio vetor nulo. Então, e a transformação é injetiva.
Passo 3
Agora só falta verificar se a transformação é sobrejetiva. Temos
Já vimos que , então . Assim,
Nesse caso, vemos que se é uma base para , é base. Seguindo o Corolário 3.6, vemos que a transformação deve ser sobrejetiva.
Como a transformação é sobrejetiva e injetiva, então ela é um isomorfismo.
Resposta
Veja a resolução acima.