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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 21

Mostre que A não é anti-hermitiana, qualquer que seja a escolha dos sinais × .

a   A = 0 i 2 - 3 i - i 0 × 2 + 3 i × ×

b   A = 1 × 3 - 5 i × 2 i - i - 3 + 5 i i 3 i

Passo 1

Vamos substituir os nossos símbolos de × por um número complexo genérico x + i y , então, vamos obter a seguinte matriz

0 i 2 - 3 i - i 0 x 1 + i y 1 2 + 3 i x 2 + i y 2 x 3 + i y 3

Teremos que nossa matriz A será anti-hermitiana se A * = - A , onde A * = A - T . Sendo assim, vamos primeiramente encontrar A - que será

A - = 0 - i 2 + 3 i i 0 x 1 - i y 1 2 - 3 i x 2 - i y 2 x 3 - i y 3

Agora, vamos encontrar A - T que é a transposta da matriz acima, então, teremos

A - T = 0 i 2 - 3 i - i 0 x 2 - i y 2 2 + 3 i x 1 - i y 1 x 3 - i y 3

Como dito acima vamos ter que para a matriz ser anti-hermitiana devemos ter A - T = - A . Dessa forma, façamos a comparação e vamos encontrar

A - T = - A

0 i 2 - 3 i - i 0 x 2 - i y 2 2 + 3 i x 1 - i y 1 x 3 - i y 3 = 0 - i - 2 + 3 i i 0 - x 1 - i y 1 - 2 - 3 i - x 2 - i y 2 - x 3 - i y 3

Como a 21 ≠ - a 12 - e a 31 ≠ - a 13 -   nossa matriz A é não anti-hermitiana.

Passo 2

Procedendo da mesma forma para a segunda matriz vamos ter

A = 1 x 1 + i y 1 3 - 5 i x 2 + i y 2 2 i - i - 3 + 5 i i 3 i

Assim, teremos que A - será dada por

A - = 1 x 1 - i y 1 3 + 5 i x 2 - i y 2 - 2 i i - 3 - 5 i - i - 3 i

Então, a matriz A - T será a seguinte

A - T = 1 x 2 - i y 2 - 3 - 5 i x 1 - i y 1 - 2 i - i 3 + 5 i i - 3 i

Comparando, agora ambas as matrizes vamos ter que

1 x 2 - i y 2 - 3 - 5 i x 1 - i y 1 - 2 i - i 3 + 5 i i - 3 i = - 1 - x 1 - i y 1 - 3 + 5 i - x 2 - i y 2 - 2 i i 3 - 5 i - i - 3 i

Como temos que a 11 ≠ - a 11 - ,   a 32 ≠ - a 23 -   e   a 31 ≠ - a 13 - temos que a matriz é não anti-hermitiana.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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