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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 11

Mostre que A é unitária e encontre A^(- 1) .

A = [[[[[((sqrt(3) + i))/(2 sqrt(2))]],((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))],[((1 + i sqrt(3)))/(2 sqrt(2)),((i - sqrt(3)))/(2 sqrt(2))]]]

Passo 1

A partir da matriz dada temos os seguintes vetores de linha

r_1 = [((sqrt(3) + i))/(2 sqrt(2)) ((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))]

r_2 = [((1 + i sqrt(3)))/(2 sqrt(2)) ((i - sqrt(3)))/(2 sqrt(2))]

Vamos mostrar que esses vetores são ortonormais. Primeiramente encontremos ||r_1|| e ||r_2|| fazendo

||r_1|| = sqrt(|((sqrt(3) + i))/(2 sqrt(2))|^2 + |((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))|^2) = sqrt((4)/(8) + (4)/(8)) = 1

||r_2|| = sqrt(|((1 + i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))|^2 + |((i - sqrt(3)))/(2 sqrt(2))|^2) = sqrt((4)/(8) + (4)/(8)) = 1

Calculemos agora r_1 * r_2 e obteremos

r_1 * r_2 = (((sqrt(3) + i))/(2 sqrt(2))) * overset(-)((((1 + i sqrt(3)))/(2 sqrt(2)))) + (((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))) * overset(-)((((i - sqrt(3)))/(2 sqrt(2))))

r_1 * r_2 = (((sqrt(3) + i))/(2 sqrt(2))) * (((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))) + (((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))) * (((i + sqrt(3)))/(2 sqrt(2)))

r_1 * r_2 = (1)/(8) * (- sqrt(3) - sqrt(3) + sqrt(3) + sqrt(3)) = 0

Passo 2

Como temos que A é unitário, então, A^(- 1) = A^* , onde pela definição 1 nós temos que A^* = overset(-)(A)^T . Sendo assim, vamos ter

overset(-)(A) = [[[[[((sqrt(3) - i))/(2 sqrt(2))]],((1 + i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))],[((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2)),((- i - sqrt(3)))/(2 sqrt(2))]]] -> overset(-)(A)^T = [[[[[((sqrt(3) - i))/(2 sqrt(2))]],((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))],[((1 + i sqrt(3)))/(2 sqrt(2)),((- i - sqrt(3)))/(2 sqrt(2))]]] = A^(- 1)

Pronto, concluído nosso exercício.

Resposta

A^(- 1) = [[[[[((sqrt(3) - i))/(2 sqrt(2))]],((1 - i sqrt(3)))/(2 sqrt(2))],[((1 + i sqrt(3)))/(2 sqrt(2)),((- i - sqrt(3)))/(2 sqrt(2))]]]

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