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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 2b

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:

a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2 0 - 1 3 4 3 2 0 0 0 0 3 3 0 2 d) 2 2 0 2 3 4 3 2 0 0 0 0 1 1 0 1

Passo 1

E aí, tudo certinho? Bora resolver essa questão?

Vamos lá, nós temos a matriz

2 3 0 0 1 0 0 0 2

Vamos subtrair a matriz -λ da mesma para encontrar os auto-valores. Ficaremos então com

2 - λ 3 0 0 1 - λ 0 0 0 2 - λ

Note que temos um triângulo de zeros abaixo da diagonal, logo o determinante é o produto da diagonal principal apenas. Ficando

2 - λ 1 - λ 2 - λ =0

Também é importante notar que temos dois produtos iguais logo teremos apenas dois valores de λ. Note também que zerando qualquer um dos parênteses teremos zero como resultado logo. λ = 2   ;   λ = 1

Esses são os auto-valores, agora vamos para os vetores.

Passo 2

Basta substituir os valores encontrados para λ nas matrizes, vamos começar com 2.

Teremos o seguinte então:

2 - 2 3 0 0 1 - 2 0 0 0 2 - 2

Colocando em forma de sistemas teremos

3 x 2 = 0 x 2 = 0 0 = 0

Aqui temos que x 2 = 0 , então os outros dois valores podem ser declarados da seguinte forma.

x 1 0 0 + 0 0 x 3

Logo teremos o seguinte

x 1 1 0 0 + x 3 0 0 1 =   x 1 0 x 3

Logo o mesmo é base pois os vetores geram e são LI.

Vamos para o próximo valor que é 1

2 - 1 3 0 0 1 - 1 0 0 0 2 - 1

Em sistema fica

x 1 + 3 x 2 = 0 0 = 0 x 3 = 0

Podemos estabelecer que o x 1 = - 3 x 2 logo podemos escrever o vetor da seguinte maneira

- 3 x 2 x 2 0 = x 2 - 3 1 0

O vetor é base pois gera e não nulo, logo também é LI

Passo 3

Importante, mesmo que tenham 3 valores de λ temos apenas duas respostas pois dois valores são iguais.

Resposta

λ =(2,1,2)

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