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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 14

Seja T : V → V um operador linear normal em um espaço vetorial real de dimensão n . Mostre que existe uma base ortonormal C de V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D i = λ i     o u     D i = α i β i β i α i

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → V um operador linear normal em um espaço vetorial real de dimensão n . Mostre que existe uma base ortonormal C de V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D i = λ i     o u     D i = α i β i β i α i

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D i = λ i     o u     D i = α i β i β i α i

Temos,

T w β λ β λ = α - β β α

T w ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

T w ≠ 0

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Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão em torno desse eixo.
Seja T : V → V um operador linear ortogonal em um espaço vetorial real de dimensão n . Mostre que existe uma base ortonormal C de V tal que T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,e mq u eD i =
Seja T : V → V um operador linear invertível em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que existe um operador auto adjunto definido positivo P e um operador unitário (ortogonal) U ,
Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão n . Mostre que se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum Kn , então T n = 0 .