Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 7a
Utilizar a inversão de matrizes para mostrar que:
A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos é uma reflexão em torno desse eixo.
Passo 1
A questão pede para acharmos a inversa de uma reflexão em torno do eixo . Para isso, você deve lembrar que nesse tipo de transformação, ocorre o seguinte:
Assim, a matriz de transformação é
Note que , logo a transformação admite inversa!
Passo 2
Para inverter essa matriz, vamos usar o truque de inversão das matrizes :
Assim,
Note que a matriz inversa é igual a própria matriz. Desta forma, a inversa de uma reflexão em torno do eixo também é uma reflexão em torno do mesmo eixo.
Resposta
Demonstração.
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Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A inversa de uma rotação no plano por um ângulo θ é a rotação do plano do ângulo - θ .
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( 3 x - 4 y , - x + 2
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x + y - z , x +
No plano, uma rotação de π / 3 radianos é seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y .a) Mostrar que a transformação é um isomorfismo.b) Determinar a inversa da transformação definida.
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x , - y )