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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 16

Seja T : V → V um operador linear ortogonal em um espaço vetorial real de dimensão n . Mostre que existe uma base ortonormal C de V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D i = ± 1     o u     D i = cos ⁡ θ i - sin ⁡ θ i sin ⁡ θ i cos ⁡ θ i

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → V um operador linear ortogonal em um espaço vetorial real de dimensão n . Mostre que existe uma base ortonormal C de V tal que

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D i = ± 1     o u     D i = cos ⁡ θ i - sin ⁡ θ i sin ⁡ θ i cos ⁡ θ i

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

T C C = D 1 0 ⋯ 0 0 D 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 D k ,   e m   q u e   D i = ± 1     o u     D i = cos ⁡ θ i - sin ⁡ θ i sin ⁡ θ i cos ⁡ θ i

Temos,

D = λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 λ n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

D = λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 λ n

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