Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 12

Seja um operador linear invertível em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que existe um operador auto adjunto definido positivo e um operador unitário (ortogonal) , tal que . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja um operador linear invertível em um espaço com produto interno de dimensão finita. Mostre que existe um operador auto adjunto definido positivo e um operador unitário (ortogonal) , tal que . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

, temos

Ficando,

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

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Um operador T : V → V em um espaço com produto interno tal que T V = | | V | | , para todo V ∈ V é chamado operador unitário, se o espaço vetorial V é complexo e operador ortogonal se o espaço vetoria

Seja V um espaço vetorial complexo. Mostre que um operador T : V → V é normal se, e somente se, existe um polinômio p tt a lq u eT * = p ( t ) .

Seja V um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita. Seja w um subespaço de w . Mostre que a projeção ortogonal em w , P : V → V , P V = p r o j w V , é um operador auto adjunto.

Seja T : V → V um operador normal em um espaço vetorial complexo. Seja 𝕨 um subespaço de V . Mostre que(a) Se w é T-invariante, então w e também T * -invariante.(b) Se w é T-invariante, então w ⊥ tam

Mostre que um operador T é unitário (ortogonal) se, e somente se, T * existe e T * T = T T * = I .